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九州大学 1980年理系第5問解説

方針・初手

$P$と$Q$の位置を時刻 $t$ の関数として設定し、それぞれの速度に関する条件から、$P$と$Q$の距離 $f(t)$ についての微分方程式を立式する。立式された $f(t)$ の関係式が1階線形常微分方程式となるため、これを解いて $f(t)$ の具体的な式を求めることが基本方針となる。

解法1

時刻 $t$ における点 $P, Q$ の座標をそれぞれ $x_P(t), x_Q(t)$ とする。 $P$ が先行し、$Q$ が後続であるから、$P, Q$ 間の距離 $f(t)$ は

$$f(t) = x_P(t) - x_Q(t)$$

と表される。また、初期状態において $P$ は $Q$ より先行しているため、$f(0) > 0$ である。

問題の条件より、各点の速度について以下が成り立つ。

$$\begin{aligned} \frac{dx_P}{dt} &= k \\ \frac{dx_Q}{dt} &= \lambda f(t) \end{aligned}$$

これらを辺々引くと

$$\frac{dx_P}{dt} - \frac{dx_Q}{dt} = k - \lambda f(t)$$

すなわち、$f(t)$ に関する微分方程式として

$$f'(t) = k - \lambda f(t)$$

が得られる。

(1)

上記の微分方程式を変形すると

$$f'(t) + \lambda f(t) = k$$

両辺に $e^{\lambda t}$ を掛けると

$$\begin{aligned} e^{\lambda t} f'(t) + \lambda e^{\lambda t} f(t) &= k e^{\lambda t} \\ \{ e^{\lambda t} f(t) \}' &= k e^{\lambda t} \end{aligned}$$

両辺を $t$ について積分すると

$$\begin{aligned} e^{\lambda t} f(t) &= \frac{k}{\lambda} e^{\lambda t} + C \quad (C \text{は積分定数}) \\ f(t) &= \frac{k}{\lambda} + C e^{-\lambda t} \end{aligned}$$

$t=0$ を代入すると、$f(0) = \frac{k}{\lambda} + C$ より $C = f(0) - \frac{k}{\lambda}$ となる。これを代入して整理すると

$$\begin{aligned} f(t) &= \frac{k}{\lambda} + \left( f(0) - \frac{k}{\lambda} \right) e^{-\lambda t} \\ &= \frac{k}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t}) + f(0) e^{-\lambda t} \end{aligned}$$

ここで、$k > 0, \lambda > 0$ であり、$t \ge 0$ においては $0 < e^{-\lambda t} \le 1$ より $1 - e^{-\lambda t} \ge 0$ である。また、$e^{-\lambda t} > 0$ かつ $f(0) > 0$ であるから、

$$\frac{k}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t}) \ge 0, \quad f(0) e^{-\lambda t} > 0$$

よって、$t \ge 0$ において常に $f(t) > 0$ が成り立つ。 $f(t) > 0$ であることは、先行する $P$ を後続の $Q$ が追い抜く（または追いつく）ことがないことを意味する。したがって、$Q$ は決して $P$ に追いつかない。

(2)

(1)の過程において、$f(0) = a$ とすると、積分定数 $C$ は

$$C = a - \frac{k}{\lambda}$$

となる。これを $f(t) = \frac{k}{\lambda} + C e^{-\lambda t}$ に代入すると

$$f(t) = \frac{k}{\lambda} + \left( a - \frac{k}{\lambda} \right) e^{-\lambda t}$$

解法2

(1)の別解（背理法による証明）

$Q$ が $P$ に追いつくことがあると仮定する。すなわち、ある時刻 $t_1 > 0$ で初めて $f(t_1) = 0$ になるとする。このとき、$0 \le t < t_1$ においては $f(t) > 0$ であり、$f(t)$ は $t=t_1$ において減少して $0$ に到達するため、

$$f'(t_1) \le 0$$

でなければならない。

一方で、$f(t)$ が満たす微分方程式

$$f'(t) = k - \lambda f(t)$$

に対して $t = t_1$ を代入すると

$$f'(t_1) = k - \lambda f(t_1) = k - \lambda \cdot 0 = k$$

問題の条件より $k > 0$ であるから

$$f'(t_1) > 0$$

となり、これは $f'(t_1) \le 0$ に矛盾する。したがって、仮定は誤りであり、$Q$ は決して $P$ に追いつかない。

※ (2)の解法は解法1と同様であるため省略する。

解説

本問は、物理的な運動を微分方程式に翻訳して解く、微積分・微分方程式における標準的な問題である。「速度は位置の時間微分である」という基本関係を用いて、$P, Q$間の距離 $f(t)$ が満たす微分方程式 $f'(t) + \lambda f(t) = k$ を正しく導けるかがポイントとなる。

この形の微分方程式（1階線形常微分方程式）は、両辺に積分因子 $e^{\lambda t}$ を掛けて積の微分の逆演算を利用し、$\{e^{\lambda t}f(t)\}'$ の形を作るのが定石である。また、(1)において $Q$ が $P$ に追いつかないことの証明は、解法1のように関数 $f(t)$ を具体的に求めてから常に $f(t) > 0$ となることを示すのが素直な手順だが、解法2のように微分方程式の性質と微分の図形的な意味（減少するなら導関数は0以下）を利用して直接的に背理法で示すこともでき、数学的に簡潔で強力なアプローチである。