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九州大学 1996年理系第3問解説

方針・初手

(1) 曲線 $y = \log x$ の $x = k$ における接線の方程式を求め、指定された区間での定積分、あるいは台形の面積として計算する。
(2) $y = \log x$ が上に凸であることを利用し、接線と曲線の上下関係から不等式を作る。それを $k$ について足し合わせることで階乗の対数を評価する。
(3) (2)で得られた不等式を整理し、現れる $\log\left(1 - \frac{1}{2n}\right)$ の項に対して、関数 $y = \frac{1}{t}$ の積分を用いた不等式評価を行って目的の式を導く。

解法1

(1) $f(x) = \log x$ とおくと、$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。曲線 $y = \log x$ 上の点 $(k, \log k)$ における接線の方程式は、

$$y - \log k = \frac{1}{k}(x - k)$$

$$y = \frac{1}{k}x - 1 + \log k$$

この接線と $2$ 直線 $x = k - \frac{1}{2}$、$x = k + \frac{1}{2}$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S$ とする。 $x = k - \frac{1}{2}$ における接線の $y$ 座標は $\frac{1}{k}\left(-\frac{1}{2}\right) + \log k = \log k - \frac{1}{2k}$ となる。 $k \geqq 2$ であるから、$\log k - \frac{1}{2k} \geqq \log 2 - \frac{1}{4}$ である。ここで $\log 2 > \log e^{1/2} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ より $\log 2 - \frac{1}{4} > 0$ であるため、区間 $k - \frac{1}{2} \leqq x \leqq k + \frac{1}{2}$ において接線はつねに $x$ 軸より上側にある。したがって、求める面積 $S$ は台形の面積として計算でき、

$$S = \frac{1}{2} \left\{ \left( \log k - \frac{1}{2k} \right) + \left( \log k + \frac{1}{2k} \right) \right\} \left\{ \left(k + \frac{1}{2}\right) - \left(k - \frac{1}{2}\right) \right\}$$

$$S = \frac{1}{2} (2 \log k) \cdot 1 = \log k$$

となる。（定積分 $\int_{k-1/2}^{k+1/2} \left( \frac{1}{k}x - 1 + \log k \right) dx$ を計算しても同じ結果が得られる。）

(2) $f(x) = \log x$ について、$f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ であるから、曲線 $y = \log x$ は上に凸である。したがって、曲線上の点における接線は、常にその曲線の上側（または曲線上）にある。すなわち、すべての $x > 0$ に対して次の不等式が成り立つ。

$$\frac{1}{k}(x - k) + \log k \geqq \log x$$

両辺を $x$ について $k - \frac{1}{2}$ から $k + \frac{1}{2}$ まで積分すると、

$$\int_{k-1/2}^{k+1/2} \left\{ \frac{1}{k}(x - k) + \log k \right\} dx \geqq \int_{k-1/2}^{k+1/2} \log x dx$$

左辺は (1) で求めた面積 $S$ に等しく $\log k$ であるから、

$$\log k \geqq \int_{k-1/2}^{k+1/2} \log x dx$$

が成り立つ。

自然数 $n$ について、$n \geqq 3$ のとき、この不等式で $k = 2, 3, \ldots, n-1$ として辺々を加えると、

$$\sum_{k=2}^{n-1} \log k \geqq \sum_{k=2}^{n-1} \int_{k-1/2}^{k+1/2} \log x dx$$

左辺は $\log 2 + \log 3 + \ldots + \log(n-1) = \log[(n-1)!]$ となる。右辺は積分の区間がつながるため、

$$\sum_{k=2}^{n-1} \int_{k-1/2}^{k+1/2} \log x dx = \int_{3/2}^{n-1/2} \log x dx$$

ここで、$\int \log x dx = x \log x - x + C$ であるから、

$$\int_{3/2}^{n-1/2} \log x dx = \left[ x \log x - x \right]_{3/2}^{n-1/2}$$

$$= \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) - \left(n - \frac{1}{2}\right) - \left( \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2} \right)$$

$$= \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - n + 2$$

$$= \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - (n - 2)$$

よって、$n \geqq 3$ のとき題意の不等式は成立する。

また、$n = 2$ のとき、左辺は $\log 1! = 0$ 右辺は $\frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - 0 = 0$ となり、両辺が等しくなるため $n=2$ のときも不等式は成立する。

以上より、自然数 $n > 1$ に対して、

$$\log [(n-1)!] \geqq \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - (n-2)$$

が示された。

(3) 定義より $a_n = \log [(n-1)!] + \frac{1}{2}\log n$ であるから、(2) の結果を用いると、

$$a_n \geqq \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - (n-2) + \frac{1}{2}\log n$$

ここで、第1項と第4項をまとめると、

$$\left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left(n - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\log n = \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left\{ n \left( 1 - \frac{1}{2n} \right) \right\} + \frac{1}{2}\log n$$

$$= \left(n - \frac{1}{2}\right) \log n + \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right) + \frac{1}{2}\log n$$

$$= n \log n + \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right)$$

これを先ほどの不等式に代入して整理すると、

$$a_n \geqq n \log n + \left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right) - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - n + 2 \quad \cdots (*)$$

次に、$\left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right)$ の部分を評価する。 $t > 0$ において、関数 $y = \frac{1}{t}$ は単調減少である。 $n > 1$ より $2n-1 > 0$ であるから、区間 $2n-1 < t < 2n$ において、

$$\frac{1}{t} < \frac{1}{2n-1}$$

が成り立つ。両辺を $t$ について $2n-1$ から $2n$ まで積分すると、

$$\int_{2n-1}^{2n} \frac{1}{t} dt < \int_{2n-1}^{2n} \frac{1}{2n-1} dt$$

$$\left[ \log t \right]_{2n-1}^{2n} < \frac{1}{2n-1} \left\{ 2n - (2n-1) \right\}$$

$$\log(2n) - \log(2n-1) < \frac{1}{2n-1}$$

$$\log\left(\frac{2n}{2n-1}\right) < \frac{1}{2n-1}$$

$$-\log\left(\frac{2n-1}{2n}\right) < \frac{1}{2n-1}$$

$$\log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right) > -\frac{1}{2n-1}$$

両辺に正の数 $n - \frac{1}{2} = \frac{2n-1}{2}$ を掛けると、

$$\left(n - \frac{1}{2}\right) \log\left( 1 - \frac{1}{2n} \right) > \frac{2n-1}{2} \left( -\frac{1}{2n-1} \right) = -\frac{1}{2}$$

となる。この結果を $(*)$ の右辺に用いると、

$$a_n > n \log n - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right) - n + 2$$

$$= n \log n - n + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \log\left(\frac{3}{2}\right)$$

$$= n \log n - n + \frac{3}{2} \left[ 1 - \log\left(\frac{3}{2}\right) \right]$$

したがって、

$$a_n > n \log n - n + \frac{3}{2} \left[ 1 - \log\left(\frac{3}{2}\right) \right]$$

が示された。

解説

階乗の近似である「スターリングの近似公式」に関連する不等式評価の有名問題である。 (1) と (2) は、上に凸な関数のグラフが接線の下側にあることを利用し、定積分を台形の面積で上から評価する定石の解法である。 (3) では、対数の差 $\log x - \log y$ が現れた際に、積分 $\int_y^x \frac{1}{t} dt$ を用いて評価する手法が非常に有効である。本問では $\frac{1}{t}$ の単調減少性を利用して定積分を長方形の面積で評価することで、必要な不等式を微分を用いずに簡潔に導出している。