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九州大学 1995年理系第2問解説

方針・初手

空間内の直線の方程式をベクトルを用いて媒介変数表示し、$z=0$ となる点を見つけることで $xy$ 平面上の交点の座標を求める。図形的な条件（正三角形、軌跡）は、求めた座標を用いて代数的な方程式に帰着させて処理する。

解法1

(1)

直線 $PA$ は、実数 $t$ を用いて $\vec{OQ} = (1-t)\vec{OP} + t\vec{OA}$ と表される点 $Q$ の集まりである。点 $A'$ は直線 $PA$ と $xy$ 平面 ($z=0$) の交点であるから、成分ごとに表すと

$$\begin{aligned} A' &= (1-t)(a, b, 3) + t(0, 1, 2) \\ &= (a(1-t), b(1-t)+t, 3-t) \end{aligned}$$

$z$ 座標が $0$ であるから、

$$3-t = 0 \iff t=3$$

これを代入して、

$$A'(-2a, -2b+3, 0)$$

同様に、直線 $PB$ 上の点は実数 $s$ を用いて

$$\begin{aligned} B' &= (1-s)(a, b, 3) + s(0, -1, 2) \\ &= (a(1-s), b(1-s)-s, 3-s) \end{aligned}$$

$z=0$ より $s=3$ であるから、

$$B'(-2a, -2b-3, 0)$$

直線 $PC$ 上の点は実数 $u$ を用いて

$$\begin{aligned} C' &= (1-u)(a, b, 3) + u(0, 0, 1) \\ &= (a(1-u), b(1-u), 3-2u) \end{aligned}$$

$z=0$ より $3-2u = 0 \iff u = \frac{3}{2}$ であるから、

$$C'\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, 0\right)$$

(2)

(1)より $A', B'$ の $x$ 座標はともに $-2a$ である。したがって、線分 $A'B'$ は $y$ 軸と平行であり、その長さは

$$A'B' = |(-2b-3) - (-2b+3)| = |-6| = 6$$

$\triangle A'B'C'$ が正三角形であるとき、点 $C'$ は線分 $A'B'$ の垂直二等分線上にある。線分 $A'B'$ の中点を $M$ とすると、その座標は $M(-2a, -2b, 0)$ である。 $C'$ は $M$ と $y$ 座標が等しくなければならないので、

$$-\frac{b}{2} = -2b \iff \frac{3}{2}b = 0 \iff b = 0$$

このとき $M(-2a, 0, 0)$ であり、$C'\left(-\frac{a}{2}, 0, 0\right)$ となる。また、正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}$ であるから、$MC' = 3\sqrt{3}$ となる。

$$\left| -\frac{a}{2} - (-2a) \right| = \left| \frac{3}{2}a \right| = 3\sqrt{3}$$

$a \ge 0$ より $\frac{3}{2}a = 3\sqrt{3}$ となり、

$$a = 2\sqrt{3}$$

以上より、求める点 $P_0$ の座標は

$$P_0(2\sqrt{3}, 0, 3)$$

(3)

点 $Q$ は半円周 $y^2 + (z - 2)^2 = 1, x = 0, z \le 2$ 上の点であるから、その座標を $Q(0, Y, Z)$ とおくと、

$$Y^2 + (Z - 2)^2 = 1 \quad \text{かつ} \quad Z \le 2$$

を満たす。点 $P_0(2\sqrt{3}, 0, 3)$ と点 $Q(0, Y, Z)$ を結ぶ直線上の点は、実数 $k$ を用いて

$$\begin{aligned} & (1-k)(2\sqrt{3}, 0, 3) + k(0, Y, Z) \\ &= (2\sqrt{3}(1-k), kY, 3-3k+kZ) \end{aligned}$$

と表される。この直線と $xy$ 平面の交点 $Q'(X, Y', 0)$ の $z$ 座標は $0$ であるから、

$$3-3k+kZ = 0 \iff k(3-Z) = 3$$

$Z \le 2$ より $3-Z \ge 1 > 0$ であるから、

$$k = \frac{3}{3-Z}$$

このとき $Q'$ の $x, y$ 座標はそれぞれ

$$\begin{cases} X = 2\sqrt{3} \left( 1 - \frac{3}{3-Z} \right) = \frac{-2\sqrt{3}Z}{3-Z} \\ Y' = \frac{3Y}{3-Z} \end{cases}$$

第1式を $Z$ について解く。

$$X(3-Z) = -2\sqrt{3}Z \iff Z(X - 2\sqrt{3}) = 3X$$

$X = 2\sqrt{3}$ とすると $0 = 6\sqrt{3}$ となり矛盾するので $X \neq 2\sqrt{3}$ であり、

$$Z = \frac{3X}{X - 2\sqrt{3}}$$

これを第2式に代入して $Y$ について解くと、

$$\begin{aligned} 3-Z &= 3 - \frac{3X}{X - 2\sqrt{3}} = \frac{-6\sqrt{3}}{X - 2\sqrt{3}} \\ Y' &= 3Y \cdot \frac{X - 2\sqrt{3}}{-6\sqrt{3}} = -\frac{X - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} Y \\ Y &= -\frac{2\sqrt{3}}{X - 2\sqrt{3}} Y' \end{aligned}$$

これらを $Y^2 + (Z - 2)^2 = 1$ に代入する。

$$\left( -\frac{2\sqrt{3}}{X - 2\sqrt{3}} Y' \right)^2 + \left( \frac{3X}{X - 2\sqrt{3}} - 2 \right)^2 = 1$$

$$\frac{12Y'^2}{(X - 2\sqrt{3})^2} + \left( \frac{X + 4\sqrt{3}}{X - 2\sqrt{3}} \right)^2 = 1$$

両辺に $(X - 2\sqrt{3})^2$ をかけて整理する。

$$\begin{aligned} 12Y'^2 + (X + 4\sqrt{3})^2 &= (X - 2\sqrt{3})^2 \\ 12Y'^2 &= (X - 2\sqrt{3})^2 - (X + 4\sqrt{3})^2 \\ 12Y'^2 &= -12\sqrt{3}X - 36 \\ Y'^2 &= -\sqrt{3}X - 3 \\ Y'^2 &= -\sqrt{3}(X + \sqrt{3}) \end{aligned}$$

また、$Z \le 2$ の条件から $X$ の範囲を求める。

$$\begin{aligned} \frac{3X}{X - 2\sqrt{3}} &\le 2 \\ \frac{3X - 2(X - 2\sqrt{3})}{X - 2\sqrt{3}} &\le 0 \\ \frac{X + 4\sqrt{3}}{X - 2\sqrt{3}} &\le 0 \end{aligned}$$

これより、$-4\sqrt{3} \le X < 2\sqrt{3}$ となる。さらに、得られた放物線の式 $Y'^2 = -\sqrt{3}(X + \sqrt{3})$ より $X + \sqrt{3} \le 0 \iff X \le -\sqrt{3}$ が成り立つため、条件はまとめられて $-4\sqrt{3} \le X \le -\sqrt{3}$ となる。

解説

空間図形と軌跡に関する標準的な問題である。 (1) では空間内の直線をパラメータ表記で表し、$z=0$ 平面との交点を求める基本操作が問われている。 (2) は図形的性質をいかに簡潔に数式化するかがポイント。$A'$ と $B'$ の $x$ 座標が一致することに気づけば、線分 $A'B'$ が $y$ 軸と平行であることがわかり、正三角形の対称性から $C'$ の $y$ 座標や $x$ 座標の位置関係が容易に定まる。 (3) は軌跡の計算。動点 $Q$ を媒介変数表示してもよいが、$Q(0, Y, Z)$ とおき関係式をそのまま用いる方が、パラメータ消去の手間が少なく計算ミスを防ぎやすい。$Z \le 2$ の条件が軌跡の端点を定める不等式となることを忘れないようにしたい。