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名古屋大学 2004年文系第2問解説

方針・初手

(1) 3次関数が極値をもつための条件は、導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことである。2次方程式 $f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$ を立式して $a$ の範囲を求める。 (2) 極値をとる $x$ 座標 $p, q$ は $f'(x) = 0$ の2解である。2点を結ぶ直線の傾き $m = \frac{f(q) - f(p)}{q - p}$ を計算し、$p, q$ の対称式を用いて解と係数の関係から $a$ の式で表すか、あるいは $f(x)$ を $f'(x)$ に関連する2次式で割って次数を下げる手法を用いる。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + ax^2 + (3a - 6)x + 5$ を微分すると、

$$ f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3a - 6 $$

3次関数 $f(x)$ が極値をもつための条件は、2次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことである。 $f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$ \frac{D}{4} = a^2 - 3(3a - 6) > 0 $$

整理して、

$$ a^2 - 9a + 18 > 0 $$

$$ (a - 3)(a - 6) > 0 $$

よって、求める $a$ の範囲は

$$ a < 3, \quad 6 < a $$

(2)

$p, q$ $(p < q)$ は2次方程式 $f'(x) = 0$、すなわち $3x^2 + 2ax + 3a - 6 = 0$ の異なる2つの実数解である。解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} p + q = -\frac{2}{3}a \\ pq = \frac{3a - 6}{3} = a - 2 \end{cases} $$

2点 $P(p, f(p))$、$Q(q, f(q))$ を結ぶ直線の傾き $m$ は

$$ m = \frac{f(q) - f(p)}{q - p} $$

分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} f(q) - f(p) &= (q^3 + aq^2 + (3a - 6)q + 5) - (p^3 + ap^2 + (3a - 6)p + 5) \\ &= (q^3 - p^3) + a(q^2 - p^2) + (3a - 6)(q - p) \\ &= (q - p)(q^2 + pq + p^2) + a(q - p)(q + p) + (3a - 6)(q - p) \\ &= (q - p) \{ q^2 + pq + p^2 + a(q + p) + 3a - 6 \} \end{aligned} $$

$p \neq q$ より $q - p \neq 0$ であるから、約分して

$$ \begin{aligned} m &= q^2 + pq + p^2 + a(q + p) + 3a - 6 \\ &= (p + q)^2 - pq + a(p + q) + 3a - 6 \end{aligned} $$

解と係数の関係より得た式を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} m &= \left(-\frac{2}{3}a\right)^2 - (a - 2) + a\left(-\frac{2}{3}a\right) + 3a - 6 \\ &= \frac{4}{9}a^2 - a + 2 - \frac{2}{3}a^2 + 3a - 6 \\ &= -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \end{aligned} $$

解法2

(2) の別解（次数下げによる計算）

$p, q$ は $f'(x) = 0$ の解であるため、$3x^2 + 2ax + 3a - 6 = 0$ を満たす。計算を簡略化するため、両辺を3で割った2次式 $x^2 + \frac{2}{3}ax + a - 2 = 0$ を用いる。 $f(x)$ を $x^2 + \frac{2}{3}ax + a - 2$ で割る計算を行う。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^3 + ax^2 + (3a - 6)x + 5 \\ &= \left( x^2 + \frac{2}{3}ax + a - 2 \right) \left( x + \frac{a}{3} \right) + \left( 3a - 6 - \frac{2}{9}a^2 - (a - 2) \right)x + 5 - \frac{a(a - 2)}{3} \\ &= \left( x^2 + \frac{2}{3}ax + a - 2 \right) \left( x + \frac{a}{3} \right) + \left( -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \right)x - \frac{1}{3}a^2 + \frac{2}{3}a + 5 \end{aligned} $$

$p$ は $p^2 + \frac{2}{3}ap + a - 2 = 0$ を満たすので、上の恒等式に $x = p$ を代入すると1項目が消去される。

$$ f(p) = \left( -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \right)p - \frac{1}{3}a^2 + \frac{2}{3}a + 5 $$

$x = q$ についても同様である。

$$ f(q) = \left( -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \right)q - \frac{1}{3}a^2 + \frac{2}{3}a + 5 $$

よって、直線の傾き $m$ は

$$ \begin{aligned} m &= \frac{f(q) - f(p)}{q - p} \\ &= \frac{\left( -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \right)(q - p)}{q - p} \\ &= -\frac{2}{9}a^2 + 2a - 4 \end{aligned} $$

解説

(1) は3次関数が極値をもつ条件を問う標準的な問題である。「微分して得られる2次方程式の判別式 $D > 0$」という処理は極めて頻出であるため、計算ミスなく確実に得点したい。

(2) は極値を結ぶ直線の傾きを求める問題である。解法1のように定義に従って傾きの式を立て、対称式の形に持ち込んで解と係数の関係を利用するのが最も素直なアプローチである。一方、解法2で示した「$f(x)$ を $f'(x)$（あるいはその定数倍）で割って次数を下げる」というテクニックは、3次関数の極値に関する問題において強力な武器となる。極値 $f(p), f(q)$ の値を直接求める場合や、今回のような直線の傾き・方程式を求める場面で計算量を大幅に削減できるため、ぜひ習得しておきたい。