トップ› 名古屋大学› 1975年› 文系第3問

名古屋大学 1975年文系第3問解説

方針・初手

$f(x)$ のグラフが3点 $O(0,0)$, $A(1,1)$, $B(3,9)$ を通ることに着目する。これらの点がすべて放物線 $y=x^2$ 上にあることを見抜ければ、$f(x) - x^2 = 0$ が $x=0, 1, 3$ を解にもつことを利用して、$f(x)$ を簡潔に設定できる。これに気づかなくても、素直に $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおいて連立方程式を解くことで係数を決定できる。

解法1

3点 $O(0,0)$, $A(1,1)$, $B(3,9)$ の座標はすべて $y=x^2$ を満たす。したがって、$g(x) = f(x) - x^2$ とおくと、$g(x)$ は3次式であり、$g(0)=0$, $g(1)=0$, $g(3)=0$ が成り立つ。因数定理より、$g(x)$ は $x(x-1)(x-3)$ を因数にもつため、定数 $a$ （$a \neq 0$）を用いて次のように表せる。

$$ f(x) - x^2 = ax(x-1)(x-3) $$

よって、$f(x)$ は以下のように表される。

$$ \begin{aligned} f(x) &= ax(x^2 - 4x + 3) + x^2 \\ &= ax^3 + (1 - 4a)x^2 + 3ax \end{aligned} $$

これを $x$ で微分すると、導関数は次のようになる。

$$ f'(x) = 3ax^2 + 2(1 - 4a)x + 3a $$

点 $O(0,0)$ での接線の傾き $f'(0)$ および点 $B(3,9)$ での接線の傾き $f'(3)$ はそれぞれ以下の通りである。

$$ \begin{aligned} f'(0) &= 3a \\ f'(3) &= 3a \cdot 3^2 + 2(1 - 4a) \cdot 3 + 3a \\ &= 27a + 6 - 24a + 3a \\ &= 6a + 6 \end{aligned} $$

(1)

2点 $O, B$ でのグラフの接線が平行になるとき、その傾きは等しいので $f'(0) = f'(3)$ である。

$$ \begin{aligned} 3a &= 6a + 6 \\ 3a &= -6 \\ a &= -2 \end{aligned} $$

これは $a \neq 0$ を満たす。したがって、求める $f(x)$ は

$$ \begin{aligned} f(x) &= -2x^3 + \{1 - 4(-2)\}x^2 + 3(-2)x \\ &= -2x^3 + 9x^2 - 6x \end{aligned} $$

(2)

2点 $O, B$ でのグラフの接線が直交するとき、傾きの積が $-1$ となるので $f'(0)f'(3) = -1$ である。

$$ \begin{aligned} 3a(6a + 6) &= -1 \\ 18a^2 + 18a + 1 &= 0 \end{aligned} $$

この2次方程式を解くと、

$$ a = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 18 \cdot 1}}{18} = \frac{-9 \pm \sqrt{63}}{18} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{6} $$

これらは $a \neq 0$ を満たす実数である。求めるものは点 $O$ での接線の方程式 $y = f'(0)x$ であり、傾きは $f'(0) = 3a$ であるから、

$$ 3a = 3 \cdot \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2} $$

よって、点 $O$ での接線の方程式は以下のようになる。

$$ y = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2} x $$

解法2

$f(x)$ は $x$ の3次式であり、グラフが点 $O(0,0)$ を通ることから、定数項は $0$ である。したがって、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ （$a \neq 0$）とおくことができる。グラフが点 $A(1,1)$ と点 $B(3,9)$ を通るため、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} a + b + c = 1 \\ 27a + 9b + 3c = 9 \end{cases} $$

第2式の両辺を3で割ると、

$$ 9a + 3b + c = 3 $$

これと第1式の辺々を引くと、

$$ (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 3 - 1 $$

$$ 8a + 2b = 2 $$

$$ b = 1 - 4a $$

これを $a+b+c=1$ に代入して、

$$ a + (1 - 4a) + c = 1 $$

$$ c = 3a $$

よって、$f(x)$ は $a$ を用いて次のように表される。

$$ f(x) = ax^3 + (1 - 4a)x^2 + 3ax $$

これ以降は、解法1と同様に導関数 $f'(x)$ を計算し、(1) および (2) の条件を立式して解くことができる。

解説

3つの通過点が与えられた条件から3次関数を決定する問題である。通過点 $O(0,0), A(1,1), B(3,9)$ がすべて放物線 $y = x^2$ 上にあることに気づき、$f(x) - x^2 = ax(x-1)(x-3)$ とおけるかどうかが、計算量を削減するポイントとなる。これに気づかなくても、解法2のように連立方程式を解けば確実に正答にたどり着ける。接線が「平行」「直交」という図形的な条件は、それぞれ微分係数（接線の傾き）が「等しい」「積が $-1$ になる」という数式上の条件に言い換えて処理する。