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名古屋大学 1975年文系第6問解説

方針・初手

与えられた曲線と直線の交点の $x$ 座標を求め、積分区間を決定する。 $0 \leqq k \leqq 1$ という条件から交点の大小関係を把握し、区間ごとのグラフの上下関係を調べる。囲まれた部分の面積を $k$ の関数 $S(k)$ として立式して定積分を計算する。 $S(k)$ を $k$ で微分し、増減表を書いて最小値を与える $k$ を求める。

解法1

曲線 $y = x^2(x+1)$ と直線 $y = k^2(x+1)$ の交点の $x$ 座標を求める。方程式

$$ x^2(x+1) = k^2(x+1) $$

を解くと、

$$ (x^2 - k^2)(x+1) = 0 $$

$$ (x - k)(x + k)(x + 1) = 0 $$

より、$x = -1, -k, k$ となる。

問題の条件 $0 \leqq k \leqq 1$ より、交点の $x$ 座標の大小関係は

$$ -1 \leqq -k \leqq k $$

となる。（$k=0$ または $k=1$ のときは一部の交点が一致する）

囲まれる部分は、区間 $[-1, -k]$ と区間 $[-k, k]$ に分かれる。各区間における曲線と直線の上下関係を調べるために、差の関数 $f(x) = k^2(x+1) - x^2(x+1) = -(x-k)(x+k)(x+1)$ の符号を考える。

$-1 \leqq x \leqq -k$ のとき、$x+1 \geqq 0$, $x+k \leqq 0$, $x-k \leqq 0$ であるから、$f(x) \leqq 0$ となる。したがって、この区間では曲線 $y = x^2(x+1)$ の方が直線上にあるか、または交わる。

$-k \leqq x \leqq k$ のとき、$x+1 \geqq 0$, $x+k \geqq 0$, $x-k \leqq 0$ であるから、$f(x) \geqq 0$ となる。したがって、この区間では直線 $y = k^2(x+1)$ の方が曲線上にあるか、または交わる。

以上より、求める面積 $S(k)$ は次のように立式できる。

$$ S(k) = \int_{-1}^{-k} \left\{ x^2(x+1) - k^2(x+1) \right\} dx + \int_{-k}^{k} \left\{ k^2(x+1) - x^2(x+1) \right\} dx $$

ここで、被積分関数の不定積分の一つを $F(x)$ とする。

$$ F(x) = \int (x^3 + x^2 - k^2x - k^2) dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 - k^2x $$

これを用いると、面積 $S(k)$ は

$$ S(k) = \Big[ F(x) \Big]_{-1}^{-k} + \Big[ -F(x) \Big]_{-k}^{k} = 2F(-k) - F(k) - F(-1) $$

として計算できる。それぞれの値を求める。

$$ \begin{aligned} F(-k) &= \frac{1}{4}(-k)^4 + \frac{1}{3}(-k)^3 - \frac{1}{2}k^2(-k)^2 - k^2(-k) \\ &= \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^4 + k^3 \\ &= -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F(k) &= \frac{1}{4}k^4 + \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2k^2 - k^2k \\ &= \frac{1}{4}k^4 + \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^4 - k^3 \\ &= -\frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^3 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F(-1) &= \frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}k^2(-1)^2 - k^2(-1) \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}k^2 + k^2 \\ &= \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{12} \end{aligned} $$

これらを $S(k)$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} S(k) &= 2\left( -\frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 \right) - \left( -\frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^3 \right) - \left( \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{12} \right) \\ &= \left( -\frac{1}{2}k^4 + \frac{4}{3}k^3 \right) + \frac{1}{4}k^4 + \frac{2}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \\ &= -\frac{1}{4}k^4 + 2k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{12} \end{aligned} $$

次に、$S(k)$ の増減を調べるために $k$ で微分する。

$$ S'(k) = -k^3 + 6k^2 - k = -k(k^2 - 6k + 1) $$

$S'(k) = 0$ となる $k$ は、$k = 0$ または $k^2 - 6k + 1 = 0$ を満たす $k$ である。 $k^2 - 6k + 1 = 0$ を解くと、$k = 3 \pm \sqrt{9-1} = 3 \pm 2\sqrt{2}$ となる。

ここで、$0 \leqq k \leqq 1$ における解を考える。 $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ であるから、 $3 - 3 < 3 - 2\sqrt{2} < 3 - 2$ より $0 < 3 - 2\sqrt{2} < 1$ となる。一方、$3 + 2\sqrt{2} > 1$ である。したがって、$0 \leqq k \leqq 1$ の範囲で $S'(k) = 0$ となるのは $k = 0, 3 - 2\sqrt{2}$ のみである。

$k$ の値の範囲 $0 \leqq k \leqq 1$ における $S(k)$ の増減表は次のようになる。

$k$	$0$	$\cdots$	$3 - 2\sqrt{2}$	$\cdots$	$1$
$S'(k)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$S(k)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$S(k)$ は $k = 3 - 2\sqrt{2}$ のときに最小となる。

解説

2つのグラフで囲まれた面積を求める典型的な問題である。積分の計算をミスなく実行できるかが鍵となる。

交点が3つあるため、積分区間が2つに分かれ、それぞれで上下関係が入れ替わることに注意が必要である。絶対値を含んだ定積分として立式してもよいが、交点の大小関係から符号を判定して外すのが確実である。

また、区間 $[-k, k]$ の積分 $\int_{-k}^{k} -(x^2-k^2)(x+1) dx$ においては、展開して奇関数・偶関数の性質を利用するか、あるいは $1/6$ 公式を用いて $\frac{1}{6}(k - (-k))^3 \times 1$ のように処理すると計算量を減らすことができる。今回のように不定積分 $F(x)$ をおいて代入処理を整理するのも、符号ミスを防ぐ有効な手段である。