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名古屋大学 1984年理系第3問解説

方針・初手

与えられた方程式を定数 $p$ について解き、$p = \log x + x^2 - 3x$ と変形して定数分離を行う。 $f(x) = \log x + x^2 - 3x$ とおき、関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = p$ が、定義域において相異なる3個の共有点をもつような $p$ の範囲を調べる。

解法1

与えられた方程式は、次のように変形できる。

$$ p = \log x + x^2 - 3x $$

対数の真数条件より、$x > 0$ である。

ここで、関数 $f(x)$ を $f(x) = \log x + x^2 - 3x \quad (x > 0)$ とおく。方程式が相異なる3個の実数解をもつための条件は、$x > 0$ において曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = p$ が相異なる3個の共有点をもつことである。

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x} + 2x - 3 \\ &= \frac{2x^2 - 3x + 1}{x} \\ &= \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x} \end{aligned} $$

$x > 0$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = \frac{1}{2}, 1$ である。したがって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & (0) & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array} $$

次に、極値を計算する。

極大値 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ は、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) &= \log \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} \\ &= -\log 2 + \frac{1}{4} - \frac{6}{4} \\ &= -\log 2 - \frac{5}{4} \end{aligned} $$

極小値 $f(1)$ は、

$$ \begin{aligned} f(1) &= \log 1 + 1^2 - 3 \cdot 1 \\ &= 0 + 1 - 3 \\ &= -2 \end{aligned} $$

また、定義域の両端における極限を調べる。

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to +0} f(x) &= -\infty \\ \lim_{x \to \infty} f(x) &= \infty \end{aligned} $$

増減表と極限から、曲線 $y = f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で極大、 $x = 1$ で極小となる連続な曲線である。したがって、この曲線と直線 $y = p$ が相異なる3個の共有点をもつための条件は、直線 $y = p$ が極小値と極大値の間にあることである。すなわち、求める条件は以下のようになる。

$$ -2 < p < -\log 2 - \frac{5}{4} $$

ここで、問題文で与えられた近似値 $\log 2 = 0.6931\cdots$ を用いて、この不等式を満たす $p$ が存在すること（極大値 $>$ 極小値となっていること）を確認しておく。

$$ \begin{aligned} \left( -\log 2 - \frac{5}{4} \right) - (-2) &= -\log 2 - 1.25 + 2 \\ &= 0.75 - \log 2 \\ &= 0.75 - 0.6931\cdots \\ &> 0 \end{aligned} $$

よって、$-2 < -\log 2 - \frac{5}{4}$ は確かに成り立っており、条件を満たす $p$ の範囲は存在する。

解説

方程式の実数解の個数を問う問題において、「定数分離」を行い、グラフの共有点の個数に帰着させる典型的な解法である。本問のポイントは、問題文の末尾に付記された「$\log 2 = 0.6931\cdots$」の使途である。微分の計算や増減表を作成する過程でこの近似値は登場しないが、最終的に得られた不等式 $-2 < p < -\log 2 - \frac{5}{4}$ が成立し得るか（上限が下限を上回っているか）を確認するために用意されている。増減表の構成から極大値が極小値より大きいことは自明ではあるものの、解答の厳密性を高めるために、与えられた数値を用いて大小関係の確認を記述しておくことが望ましい。