トップ› 北海道大学› 1989年› 理系第3問

北海道大学 1989年理系第3問解説

方針・初手

(1) 導関数 $f'(x)$ を計算し、方程式 $f'(x) = 1$ が $x > 0$ の範囲でただ1つの解をもつことを示す。得られた接点における座標から、接線の方程式 $y = g(x)$ を求める。

(2) $h(x) = f(x) - g(x)$ と置き、$x > 0$ における $h(x)$ の増減を調べる。$h(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを示せばよい。

(3) (2) の結果から、区間 $1 \leqq x \leqq e$ において $f(x) \geqq g(x)$ であることがわかる。求める面積は定積分 $\int_{1}^{e} \{f(x) - g(x)\} dx$ で計算できるため、対数関数の積分（部分積分法）を用いてこれを計算する。

解法1

(1) 関数 $f(x) = (\log x - 1)^2 + 2x(\log x - 1) - x \ (x > 0)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2(\log x - 1) \cdot \frac{1}{x} + 2(\log x - 1) + 2x \cdot \frac{1}{x} - 1 \\ &= \frac{2}{x}(\log x - 1) + 2(\log x - 1) + 2 - 1 \\ &= 2(\log x - 1) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) + 1 \end{aligned} $$

接線の傾きが $1$ となるのは $f'(x) = 1$ のときであるから、

$$ 2(\log x - 1) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) + 1 = 1 $$

$$ 2(\log x - 1) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) = 0 $$

ここで、$x > 0$ より $\frac{1}{x} + 1 > 1 > 0$ であるため、$\frac{1}{x} + 1 \neq 0$ である。したがって、

$$ \log x - 1 = 0 $$

$$ \log x = 1 \iff x = e $$

$x > 0$ の範囲において、方程式を満たす $x$ は $e$ のただ $1$ つである。ゆえに、傾き $1$ の接線はただ $1$ つ存在する。このとき、接点の $y$ 座標は、

$$ f(e) = (\log e - 1)^2 + 2e(\log e - 1) - e = 0^2 + 0 - e = -e $$

よって、接線の方程式 $y = g(x)$ は点 $(e, -e)$ を通り傾き $1$ の直線であるから、

$$ y - (-e) = 1 \cdot (x - e) $$

$$ y = x - 2e $$

すなわち、$g(x) = x - 2e$ となる。

(2) $h(x) = f(x) - g(x)$ とおくと、

$$ h(x) = (\log x - 1)^2 + 2x(\log x - 1) - 2x + 2e $$

これを微分すると、(1) で求めた導関数を用いて以下のように表せる。

$$ h'(x) = f'(x) - g'(x) = f'(x) - 1 = 2(\log x - 1) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) $$

$x > 0$ において常に $\frac{1}{x} + 1 > 0$ であるから、$h'(x)$ の符号は $\log x - 1$ の符号と一致する。したがって、$h(x)$ の増減表は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & (0) & \cdots & e & \cdots \\ \hline h'(x) & & - & 0 & + \\ \hline h(x) & & \searrow & 0 & \nearrow \\ \end{array} $$

（ただし $h(e) = f(e) - g(e) = -e - (-e) = 0$）

増減表より、$x > 0$ において $h(x)$ は $x = e$ で最小値 $0$ をとるため、すべての $x > 0$ に対して $h(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、すべての $x > 0$ に対して $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。

(3) (2) より、$1 \leqq x \leqq e$ の範囲においても $f(x) \geqq g(x)$ である。求める面積 $S$ は、曲線 $y = f(x)$ と接線 $y = g(x)$、および直線 $x = 1$、$x = e$ で囲まれた図形の面積であるため、

$$ S = \int_{1}^{e} \{ f(x) - g(x) \} dx = \int_{1}^{e} h(x) dx $$

$$ S = \int_{1}^{e} \left\{ (\log x - 1)^2 + 2x(\log x - 1) - 2x + 2e \right\} dx $$

各項の不定積分を部分積分を用いて個別に計算する。

$$ \begin{aligned} \int (\log x - 1)^2 dx &= x(\log x - 1)^2 - \int x \cdot 2(\log x - 1)\frac{1}{x} dx \\ &= x(\log x - 1)^2 - 2 \int (\log x - 1) dx \\ &= x(\log x - 1)^2 - 2(x\log x - 2x) + C_1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int 2x(\log x - 1) dx &= x^2(\log x - 1) - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= x^2(\log x - 1) - \frac{1}{2}x^2 + C_2 \end{aligned} $$

$$ \int (-2x + 2e) dx = -x^2 + 2ex + C_3 $$

これらを用いて定積分を計算する。

$$ \int_{1}^{e} (\log x - 1)^2 dx = \Big[ x(\log x - 1)^2 - 2x(\log x - 2) \Big]_{1}^{e} = (0 - 2e(1 - 2)) - (1(-1)^2 - 2(-2)) = 2e - 5 $$

$$ \int_{1}^{e} 2x(\log x - 1) dx = \Big[ x^2(\log x - 1) - \frac{1}{2}x^2 \Big]_{1}^{e} = \left(0 - \frac{1}{2}e^2\right) - \left(-1 - \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}e^2 + \frac{3}{2} $$

$$ \int_{1}^{e} (-2x + 2e) dx = \Big[ -x^2 + 2ex \Big]_{1}^{e} = (-e^2 + 2e^2) - (-1 + 2e) = e^2 - 2e + 1 $$

したがって、求める面積 $S$ はこれらの和となる。

$$ \begin{aligned} S &= (2e - 5) + \left( -\frac{1}{2}e^2 + \frac{3}{2} \right) + (e^2 - 2e + 1) \\ &= \frac{1}{2}e^2 - \frac{5}{2} \\ &= \frac{e^2 - 5}{2} \end{aligned} $$

解説

微積分を用いた接線の方程式、不等式の証明、そして面積計算という数学IIIの標準的な構成である。 (1) では導関数を丁寧に整理することで、$f'(x)=1$ の解が $x=e$ 以外に存在しないことを容易に示せる。ここで式を複雑なまま扱うと解の唯一性の証明に手間取るため、因数分解された形を作ることがポイントとなる。 (2) は「関数とその接線の上下関係」を調べる典型的な問題である。新たに差の関数 $h(x)$ を定義し、増減表を用いて最小値が $0$ であることを示すのが最も確実である。 (3) における対数関数の積分は計算ミスが起きやすい。$\int (\log x - 1)^2 dx$ や $\int x(\log x - 1) dx$ を部分積分で処理する際、符号の反転や括弧の処理に注意して正確に計算を進める必要がある。