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大阪大学 1978年理系第4問解説

方針・初手

接線の方程式を立て、曲線 $C$ との交点 $Q$ の座標を求める。次に、点 $A(1, 0)$ と交点 $Q$ から下ろした垂線の足 $R$ の位置関係に注意しながら、面積 $S_1$, $S_2$ を定積分で表す。特に $S_2$ については、積分区間が $a$ の値によって変化し、曲線 $C$ と $x$ 軸の上下関係が変わる可能性があるため、適切に場合分けを行う必要がある。

解法1

(1)

関数 $f(x) = x^3 - x$ とおく。

導関数は $f'(x) = 3x^2 - 1$ であるから、曲線 $C$ 上の点 $P(a, a^3 - a)$ における接線 $l$ の方程式は以下のようになる。

$$ y - (a^3 - a) = (3a^2 - 1)(x - a) $$

$$ y = (3a^2 - 1)x - 2a^3 $$

曲線 $C$ と接線 $l$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $x^3 - x = (3a^2 - 1)x - 2a^3$ の解である。整理すると以下のようになる。

$$ x^3 - 3a^2 x + 2a^3 = 0 $$

接点 $x = a$ はこの方程式の重解であるため、左辺は $(x - a)^2$ を因数にもつ。

$$ (x - a)^2(x + 2a) = 0 $$

よって、接点以外の交点 $Q$ の $x$ 座標は $x = -2a$ となる。$a < 0$ より、$-2a > 0$ である。

点 $Q$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足 $R$ の座標は $(-2a, 0)$ となる。

次に、$S_1$ の面積を求める。$a \le x \le -2a$ の区間において、接線 $l$ は曲線 $C$ の上側にあるため、定積分の式は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_a^{-2a} \{((3a^2 - 1)x - 2a^3) - (x^3 - x)\} dx \\ &= \int_a^{-2a} -(x^3 - 3a^2x + 2a^3) dx \\ &= \int_a^{-2a} -(x - a)^2(x + 2a) dx \end{aligned} $$

面積の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (\beta - x) dx = \frac{(\beta - \alpha)^4}{12}$ を用いると、次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{12}(-2a - a)^4 \\ &= \frac{1}{12}(-3a)^4 \\ &= \frac{81}{12}a^4 \\ &= \frac{27}{4}a^4 \end{aligned} $$

続いて、$S_2$ の面積を求める。点 $A(1, 0)$ と点 $R(-2a, 0)$ の大小関係、および曲線 $C$ の $x > 0$ における概形（$0 < x < 1$ で $y < 0$、$x > 1$ で $y > 0$）を考慮し、$a$ の値で場合分けを行う。

(i)

$-2a > 1$ すなわち $a < -\frac{1}{2}$ のとき

$1 \le x \le -2a$ の区間において、曲線 $C$ は $x$ 軸の上側にある（$y > 0$）。$S_2$ はこの区間で $x$ 軸（線分 $AR$）、直線 $x = -2a$（線分 $RQ$）、曲線 $C$ で囲まれた図形であるから、

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_1^{-2a} (x^3 - x) dx \\ &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \right]_1^{-2a} \\ &= \left( \frac{1}{4}(-2a)^4 - \frac{1}{2}(-2a)^2 \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) \\ &= 4a^4 - 2a^2 - \left( -\frac{1}{4} \right) \\ &= 4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

(ii)

$0 < -2a < 1$ すなわち $-\frac{1}{2} < a < 0$ のとき

$-2a \le x \le 1$ の区間において、曲線 $C$ は $x$ 軸の下側にある（$y < 0$）。$S_2$ はこの区間で $x$ 軸（線分 $AR$）、直線 $x = -2a$（線分 $RQ$）、曲線 $C$ で囲まれた図形であるから、

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{-2a}^1 \{0 - (x^3 - x)\} dx \\ &= \int_{-2a}^1 (-x^3 + x) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{-2a}^1 \\ &= \left( -\frac{1}{4} \cdot 1^4 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) - \left( -\frac{1}{4}(-2a)^4 + \frac{1}{2}(-2a)^2 \right) \\ &= \frac{1}{4} - (-4a^4 + 2a^2) \\ &= 4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

(iii)

$-2a = 1$ すなわち $a = -\frac{1}{2}$ のとき

点 $R$ と点 $A$ は一致し、囲まれる図形は存在しないため面積は $S_2 = 0$ となる。これは (i), (ii) で求めた式 $S_2 = 4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4}$ に $a = -\frac{1}{2}$ を代入した結果と一致する。

以上（i）〜（iii）より、$a < 0$ の範囲全体で $S_2$ は以下の式で表される。

$$ S_2 = 4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4} $$

(2)

(1) で求めた $S_1$ と $S_2$ を条件式 $S_1 = 3S_2$ に代入する。

$$ \begin{aligned} \frac{27}{4}a^4 &= 3\left(4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4}\right) \\ \frac{9}{4}a^4 &= 4a^4 - 2a^2 + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

両辺を4倍して整理する。

$$ \begin{aligned} 9a^4 &= 16a^4 - 8a^2 + 1 \\ 7a^4 - 8a^2 + 1 &= 0 \\ (7a^2 - 1)(a^2 - 1) &= 0 \end{aligned} $$

これを解くと、$a^2 = \frac{1}{7}, 1$ となる。

問題の条件より $a < 0$ であるから、条件を満たす $a$ の値は以下の通りである。

$$ a = -\frac{1}{\sqrt{7}}, -1 $$

解説

3次関数とその接線で囲まれる面積 $S_1$ の計算においては、定積分の公式 $\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2 (\beta - x) dx = \frac{(\beta - \alpha)^4}{12}$ を用いることで、煩雑な計算を大幅に短縮することができる。
$S_2$ の計算では、$A(1, 0)$ と $R(-2a, 0)$ の大小関係によって、積分区間の向きや被積分関数の符号（曲線 $C$ の上下）が逆転する。結果として同じ式に帰着するものの、論理の飛躍を防ぐために場合分けを行って両者が一致することを示すのが丁寧である。