大阪大学 1975年 理系 第4問 解説

方針・初手

まずは、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $P$ における接線の方程式を求め、そこから点 $Q$ の座標を $t$ を用いて表す。 2つのベクトルの内積を計算することになるが、定点 $M$ の座標を $(p, q)$ と文字でおいて成分計算を進める方法と、ベクトルのまま微分・積分の関係を利用して計算する方法の2つが考えられる。定点 $M$ に関する値は、差をとることで最終的に相殺されることを予想して計算を進める。

解法1

定点 $M$ の座標を $(p, q)$ とおく。 また、以降の記述において、ベクトルの内積 $(\vec{u}, \vec{v})$ を $\vec{u} \cdot \vec{v}$ と表記する。

点 $P(t, f(t))$ における曲線 $y=f(x)$ の接線の方程式は

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

である。 点 $Q$ はこの接線と直線 $x=t+1$ との交点であるから、 $x=t+1$ を代入すると

$$ y = f'(t)(t+1 - t) + f(t) = f(t) + f'(t) $$

よって、点 $Q$ の座標は $(t+1, f(t)+f'(t))$ となる。

ここから、2つのベクトル $\overrightarrow{MP}$ と $\overrightarrow{PQ}$ の成分を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MP} &= (t - p, f(t) - q) \\ \overrightarrow{PQ} &= (t+1 - t, f(t)+f'(t) - f(t)) \\ &= (1, f'(t)) \end{aligned} $$

したがって、内積 $(\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ})$ は

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) &= \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PQ} \\ &= (t - p) \cdot 1 + (f(t) - q) \cdot f'(t) \\ &= t - p + f(t)f'(t) - qf'(t) \end{aligned} $$

これを $t$ について $a$ から $b$ まで積分する。

$$ \begin{aligned} \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt &= \int_a^b \{ t - p + f(t)f'(t) - qf'(t) \} dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - pt + \frac{1}{2}\{f(t)\}^2 - qf(t) \right]_a^b \\ &= \frac{1}{2}(b^2 - a^2) - p(b - a) + \frac{1}{2}(\{f(b)\}^2 - \{f(a)\}^2) - q(f(b) - f(a)) \end{aligned} $$

次に、式 $(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB})$ を成分で計算する。 $A(a, f(a))$, $B(b, f(b))$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} &= (a - p, f(a) - q) \\ \overrightarrow{AB} &= (b - a, f(b) - f(a)) \end{aligned} $$

よって、内積は

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) &= \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= (a - p)(b - a) + (f(a) - q)(f(b) - f(a)) \\ &= a(b - a) - p(b - a) + f(a)(f(b) - f(a)) - q(f(b) - f(a)) \end{aligned} $$

与えられた等式の左辺を計算すると、積分の結果からこれを引くことになり、$p$ と $q$ を含む項がすべて打ち消し合う。

$$ \begin{aligned} & \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt - (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) \\ &= \left\{ \frac{1}{2}(b^2 - a^2) + \frac{1}{2}(\{f(b)\}^2 - \{f(a)\}^2) \right\} - \{ a(b - a) + f(a)(f(b) - f(a)) \} \\ &= \left\{ \frac{1}{2}(b - a)(b + a) - a(b - a) \right\} + \left\{ \frac{1}{2}(f(b) - f(a))(f(b) + f(a)) - f(a)(f(b) - f(a)) \right\} \\ &= \frac{1}{2}(b - a)(b + a - 2a) + \frac{1}{2}(f(b) - f(a))(f(b) + f(a) - 2f(a)) \\ &= \frac{1}{2}(b - a)^2 + \frac{1}{2}(f(b) - f(a))^2 \\ &= \frac{1}{2} \left\{ (b - a)^2 + (f(b) - f(a))^2 \right\} \end{aligned} $$

ここで、$\overrightarrow{AB} = (b - a, f(b) - f(a))$ であるため、

$$ \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = (b - a)^2 + (f(b) - f(a))^2 $$

条件より $\left| \overrightarrow{AB} \right| = 1$ であるから、$\left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = 1$ となる。 これを上の式に代入すると、

$$ \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt - (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

となり、等式が成り立つことが証明された。

解法2

原点を $O$ とし、位置ベクトルを用いて計算する。 解法1と同様に、点 $Q$ の座標は $(t+1, f(t)+f'(t))$ となる。 ここで、$\overrightarrow{OP} = (t, f(t))$ であるから、その成分を $t$ で微分すると

$$ \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} = (1, f'(t)) $$

となる。一方、$\overrightarrow{PQ} = (1, f'(t))$ であるため、

$$ \overrightarrow{PQ} = \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} $$

が成り立つ。 これを用いて、積分の式を変形する。$\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt &= \int_a^b \left( \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM} \right) \cdot \left( \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} \right) dt \\ &= \int_a^b \left( \overrightarrow{OP} \cdot \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} \right) dt - \int_a^b \left( \overrightarrow{OM} \cdot \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} \right) dt \end{aligned} $$

ここで、関数の積の微分公式から $\frac{d}{dt} \left| \overrightarrow{OP} \right|^2 = 2 \overrightarrow{OP} \cdot \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP}$ となるため、

$$ \begin{aligned} \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt &= \int_a^b \frac{1}{2} \left( \frac{d}{dt} \left| \overrightarrow{OP} \right|^2 \right) dt - \overrightarrow{OM} \cdot \int_a^b \left( \frac{d}{dt} \overrightarrow{OP} \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OP} \right|^2 \right]_a^b - \overrightarrow{OM} \cdot \left[ \overrightarrow{OP} \right]_a^b \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OM} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} \end{aligned} $$

次に、式のもう一つの項である $(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB})$ を変形する。$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}$ より、

$$ \begin{aligned} (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) &= (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} \end{aligned} $$

これらを等式の左辺に代入すると、$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB}$ が打ち消し合う。

$$ \begin{aligned} & \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt - (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) \\ &= \left( \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} \right) - ( \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} ) \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} \end{aligned} $$

さらに、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ であることを用いて変形する。

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \left( \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - 2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \left| \overrightarrow{OA} \right|^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 \end{aligned} $$

与えられた条件 $\left| \overrightarrow{AB} \right| = 1$ より $\left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = 1$ であるため、

$$ \int_a^b (\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PQ}) dt - (\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} $$

となり、証明された。

解説

ベクトルの内積と積分が組み合わさった問題である。 定点 $M$ の座標が与えられていないため、まずはこれを適当な文字でおき、恐れずに最後まで計算しきることが重要である。計算を進めれば必ず $M$ に依存する部分が相殺される仕組みになっている（解法1）。 また、$\overrightarrow{PQ}$ の成分が $(1, f'(t))$ になることから、これが $\overrightarrow{OP}$ を $t$ で微分したものであることに気づければ、ベクトルの積分のまま計算を進めることができ、計算量を劇的に減らすことができる（解法2）。ベクトルの微分は物理などで馴染みがあるかもしれないが、数学としても成分ごとの微分として扱えば問題なく利用できる。

答え

（証明は解答本文の通り）