大阪大学 2000年 理系 第1問 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を接線の方程式から具体的に求める。次に、円の外部の点 $(b, c)$ から引いた2接線の接点 $Q, R$ を通る直線（極線）の方程式を導出し、その直線が点 $P$ を満たすことを計算により示す。

解法1

円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上の点 $(b, \sqrt{a^2 - b^2})$ における接線の方程式は、

$$ bx + \sqrt{a^2 - b^2}y = a^2 $$

である。

この接線と $x$ 軸との交点 $P$ の座標を求める。$y = 0$ を代入すると、

$$ bx = a^2 $$

となる。条件 $a > b > 0$ より $b \neq 0$ であるから、両辺を $b$ で割って、

$$ x = \frac{a^2}{b} $$

を得る。よって、点 $P$ の座標は $\left( \frac{a^2}{b}, 0 \right)$ である。

次に、円の外部の点 $(b, c)$ から引いた2本の接線の接点を $Q(x_1, y_1)$、$R(x_2, y_2)$ とする。

点 $Q$ は円上の点であるから、点 $Q$ における接線の方程式は、

$$ x_1x + y_1y = a^2 $$

と表される。この直線は点 $(b, c)$ を通るため、

$$ bx_1 + cy_1 = a^2 $$

が成り立つ。

同様に、点 $R$ における接線の方程式は $x_2x + y_2y = a^2$ であり、これも点 $(b, c)$ を通るため、

$$ bx_2 + cy_2 = a^2 $$

が成り立つ。

これら2つの等式は、2点 $Q(x_1, y_1)$、$R(x_2, y_2)$ がいずれも直線

$$ bx + cy = a^2 $$

上に存在することを示している。異なる2点を通る直線はただ1つに定まるため、2点 $Q, R$ を通る直線の方程式は $bx + cy = a^2$ となる。

この直線の方程式に点 $P$ の座標 $x = \frac{a^2}{b}, y = 0$ を代入すると、

$$ b \cdot \frac{a^2}{b} + c \cdot 0 = a^2 $$

となり、右辺と一致して等式が成り立つ。

したがって、2点 $Q, R$ を通る直線は点 $P$ を通ることが示された。

解説

円の外部の点から引いた2本の接線の接点を通る直線（極線）の方程式を求める典型的な処理を用いる問題である。

一般に、点 $(x_0, y_0)$ から円 $x^2 + y^2 = r^2$ に引いた2接線の接点を通る直線の方程式は $x_0x + y_0y = r^2$ となる。これを公式として丸暗記するのではなく、本解答のように接点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$ における接線がともに点 $(x_0, y_0)$ を通るという事実から、代入された式を逆に見立てて直線の式を構成する論法は、2次曲線全般で通用する重要な考え方である。

答え

（証明は解法1の通り）