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大阪大学 2010年理系第1問解説

方針・初手

(1) $f(x)$ を素直に2回微分し、左辺の $\log f''(x)$ と右辺の $-f(x)$ をそれぞれ計算して比較する。

(2) (1) で示した等式 $\log f''(x) = -f(x)$ を変形し、$e^{-f(x)}$ を $f''(x)$ で表す。被積分関数が $(x - \log 2) f''(x)$ の形になるため、部分積分法を用いて計算を進める。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$ f(x) = 2\log(1 + e^x) - x - \log 2 $$

まず、$f(x)$ の第1次導関数 $f'(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2 \cdot \frac{e^x}{1 + e^x} - 1 \\ &= \frac{2e^x - (1 + e^x)}{1 + e^x} \\ &= \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \end{aligned} $$

次に、$f'(x)$ を微分して第2次導関数 $f''(x)$ を求める。商の微分法を用いる。

$$ \begin{aligned} f''(x) &= \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2} \\ &= \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} \\ &= \frac{2e^x}{(1 + e^x)^2} \end{aligned} $$

ここで、示すべき等式の左辺 $\log f''(x)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \log f''(x) &= \log \left( \frac{2e^x}{(1 + e^x)^2} \right) \\ &= \log(2e^x) - \log(1 + e^x)^2 \\ &= \log 2 + \log e^x - 2\log(1 + e^x) \\ &= \log 2 + x - 2\log(1 + e^x) \end{aligned} $$

一方、等式の右辺 $-f(x)$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} -f(x) &= -\left( 2\log(1 + e^x) - x - \log 2 \right) \\ &= -2\log(1 + e^x) + x + \log 2 \end{aligned} $$

したがって、$\log f''(x) = -f(x)$ が成り立つことが示された。

(2)

(1) の結果より、$\log f''(x) = -f(x)$ であるから、対数の定義より以下が成り立つ。

$$ e^{-f(x)} = f''(x) $$

求める定積分を $I$ とおくと、$I$ は次のように書き換えられる。

$$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{\log 2} (x - \log 2) e^{-f(x)} dx \\ &= \int_{0}^{\log 2} (x - \log 2) f''(x) dx \end{aligned} $$

部分積分法を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} I &= \left[ (x - \log 2) f'(x) \right]_{0}^{\log 2} - \int_{0}^{\log 2} (x - \log 2)' f'(x) dx \\ &= \left( (\log 2 - \log 2) f'(\log 2) - (0 - \log 2) f'(0) \right) - \int_{0}^{\log 2} 1 \cdot f'(x) dx \\ &= \log 2 \cdot f'(0) - \left[ f(x) \right]_{0}^{\log 2} \\ &= \log 2 \cdot f'(0) - \left( f(\log 2) - f(0) \right) \end{aligned} $$

ここで、$f'(0)$、$f(\log 2)$、$f(0)$ の値をそれぞれ計算する。

$$ f'(0) = \frac{e^0 - 1}{e^0 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0 $$

$$ \begin{aligned} f(\log 2) &= 2\log(1 + e^{\log 2}) - \log 2 - \log 2 \\ &= 2\log(1 + 2) - 2\log 2 \\ &= 2\log 3 - 2\log 2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} f(0) &= 2\log(1 + e^0) - 0 - \log 2 \\ &= 2\log(1 + 1) - \log 2 \\ &= 2\log 2 - \log 2 \\ &= \log 2 \end{aligned} $$

これらを $I$ の式に代入する。

$$ \begin{aligned} I &= \log 2 \cdot 0 - \left( (2\log 3 - 2\log 2) - \log 2 \right) \\ &= - (2\log 3 - 3\log 2) \\ &= 3\log 2 - 2\log 3 \end{aligned} $$

解説

前問の結果を誘導として用いる定積分計算の典型問題である。

(1) で示した等式をそのまま定積分に代入しようと考えるのではなく、定積分内の $e^{-f(x)}$ という形に合わせて $\log f''(x) = -f(x)$ から $e^{-f(x)} = f''(x)$ を導くことが最大のポイントである。

積分計算においては、被積分関数が $(x - \alpha) f''(x)$ のような形になった場合、多項式部分を微分側に、$f''(x)$ を積分側に回す部分積分を行うと、$f'(x)$ や $f(x)$ の式に還元されて計算が容易になることが多い。計算ミスを防ぐためにも、$f'(x)$ や $f(x)$ の具体的な式への代入は最後のステップで行うと見通しが良くなる。