東北大学 1998年 理系 第1問 解説

方針・初手

まず $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ を変形して逆関数を求める。

つぎに （2） は、$g$ が $f$ の逆関数であることを用いて

$$ u=f(x) $$

と置換すれば、$\displaystyle \int_{f(a)}^{f(b)} g(u),du$ を $x$ で表せる。すると左辺全体が $[xf(x)]_a^b$ にまとまる。

解法1

（1） 逆関数 $g(x)$ を求める

$$ y=\frac{e^x}{e^x+1} $$

とおく。

これを $x$ について解くと、

$$ y(e^x+1)=e^x $$

より

$$ ye^x+y=e^x $$

すなわち

$$ e^x-ye^x=y $$

であるから、

$$ (1-y)e^x=y $$

となる。したがって

$$ e^x=\frac{y}{1-y} $$

であり、

$$ x=\log\frac{y}{1-y} $$

を得る。

よって逆関数は

$$ g(x)=\log\frac{x}{1-x} \qquad (0<x<1) $$

である。

なお、

$$ f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} $$

より $0<f(x)<1$ であるから、$g$ の定義域は $0<x<1$ である。

（2） 等式の証明

示すべき式は

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} g(x),dx=bf(b)-af(a) $$

である。

第2項で積分変数を区別して

$$ \int_{f(a)}^{f(b)} g(u),du $$

と書く。

ここで $u=f(x)$ と置換する。$g$ は $f$ の逆関数であるから

$$ g(u)=g(f(x))=x $$

であり、また

$$ du=f'(x),dx $$

である。したがって

$$ \int_{f(a)}^{f(b)} g(u),du ========================== \int_a^b x f'(x),dx $$

となる。

ゆえに左辺は

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_a^b x f'(x),dx ==================================== \int_a^b {f(x)+x f'(x)},dx $$

となる。

ところが

$$ \frac{d}{dx}\bigl(xf(x)\bigr)=f(x)+x f'(x) $$

であるから、

$$ \int_a^b {f(x)+x f'(x)},dx ========================== # \int_a^b \frac{d}{dx}\bigl(xf(x)\bigr),dx [xf(x)]_a^b $$

である。

したがって

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} g(x),dx =========================================== bf(b)-af(a) $$

が成り立つ。

解説

この等式は、単調関数とその逆関数の間に成り立つ基本的な関係式である。

ポイントは、逆関数 $g=f^{-1}$ を含む積分に対して

$$ u=f(x) $$

と置換すると、$g(u)=x$ に変わることである。すると

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} g(x),dx $$

が

$$ \int_a^b {f(x)+x f'(x)},dx $$

となり、これは積の微分

$$ \frac{d}{dx}(x f(x)) $$

そのものになる。

（1） で求めた具体的な $g(x)$ を直接積分してもよいが、（2） は逆関数の性質を使う方がはるかに簡潔である。

答え

$$ g(x)=\log\frac{x}{1-x} \qquad (0<x<1) $$

また、

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} g(x),dx=bf(b)-af(a) $$

が成り立つ。