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大阪大学 1962年理系第4問解説

方針・初手

対数の真数条件から、まずは与えられた3つの数がすべて正であるための $a$ の範囲を確認します。

次に、「常用対数が公差1の等差数列になる」という条件を読み替えます。対数の性質から、これは元の3つの数を適当な順に並べたとき、その比が $1 : 10 : 100$ になることと同値です。

ここで、3つの式の大小関係を比較し、最大となる式を特定することで、場合の数を絞り込むのが賢明な方針です。

解法1

対数の真数は正であるから、以下の3つの不等式が同時に成り立つ必要がある。

$$ \begin{cases} 10a^2 + 81a + 207 > 0 \\ a + 2 > 0 \\ 26 - 2a > 0 \end{cases} $$

第2式より $a > -2$、第3式より $a < 13$ である。また、第1式については以下のように変形できる。

$$ 10a^2 + 81a + 207 = 10\left(a + \frac{81}{20}\right)^2 + \frac{1719}{40} > 0 $$

これはすべての実数 $a$ について成り立つ。したがって、求める $a$ の範囲は以下の通りとなる。

$$ -2 < a < 13 \quad \cdots \text{①} $$

次に、3つの数を $A = 10a^2 + 81a + 207$, $B = a + 2$, $C = 26 - 2a$ とおく。これらの差をとって大小関係を調べる。

$$ A - B = 10a^2 + 80a + 205 = 5 \{ 2(a+4)^2 + 9 \} > 0 $$

したがって、常に $A > B$ である。同様に、$A$ と $C$ の差をとる。

$$ A - C = 10a^2 + 83a + 181 $$

この2次式を $0$ とおいたときの判別式を $D$ とすると、

$$ D = 83^2 - 4 \cdot 10 \cdot 181 = 6889 - 7240 = -351 < 0 $$

$a^2$ の係数が正で $D < 0$ であるから、すべての実数 $a$ に対して $A - C > 0$ であり、常に $A > C$ である。以上より、3つの数の中で $A$ が常に最大であることがわかる。

一方、適当な順に並べた3つの数を小さい順に $X, Y, Z$ とする。これらの常用対数 $\log_{10} X, \log_{10} Y, \log_{10} Z$ が公差1の等差数列をなすので、

$$ \log_{10} Y - \log_{10} X = 1 \iff Y = 10X $$

$$ \log_{10} Z - \log_{10} Y = 1 \iff Z = 10Y = 100X $$

すなわち、3つの数は比が $1 : 10 : 100$ となり、$x, 10x, 100x$ ($x > 0$) の形で表される。最大の数が $A$ であるため、$A = 100x$ に対応し、残りの $B$ と $C$ がそれぞれ $x$ と $10x$ のいずれかになる。これより、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $B = x, C = 10x$ の場合

$C = 10B$ かつ $A = 100B$ が成り立つ必要がある。 $C = 10B$ より、

$$ 26 - 2a = 10(a + 2) $$

$$ 12a = 6 \iff a = \frac{1}{2} $$

これは条件①を満たす。このとき、$B = \frac{5}{2}$ より $100B = 250$ となる。一方、$a = \frac{1}{2}$ を $A$ に代入すると、

$$ A = 10\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 81 \cdot \frac{1}{2} + 207 = \frac{5}{2} + \frac{81}{2} + 207 = 250 $$

よって $A = 100B$ も満たすため、$a = \frac{1}{2}$ は適する。

(ii) $C = x, B = 10x$ の場合

$B = 10C$ かつ $A = 100C$ が成り立つ必要がある。 $B = 10C$ より、

$$ a + 2 = 10(26 - 2a) $$

$$ 21a = 258 \iff a = \frac{86}{7} $$

これは条件①を満たす。このとき、$C = 26 - 2 \cdot \frac{86}{7} = \frac{10}{7}$ より $100C = \frac{1000}{7}$ となる。一方、$a = \frac{86}{7}$ を $A$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} A &= 10\left(\frac{86}{7}\right)^2 + 81 \cdot \frac{86}{7} + 207 \\ &= \frac{73960}{49} + \frac{6966}{7} + 207 \\ &= \frac{73960 + 48762 + 10143}{49} \\ &= \frac{132865}{49} \end{aligned} $$

$100C = \frac{1000}{7} = \frac{7000}{49}$ であるため、$A \neq 100C$ となり不適。

以上より、条件を満たすのは $a = \frac{1}{2}$ のみである。

解法2

解法1と同様に、3つの数を $A, B, C$ とおき、真数条件 $-2 < a < 13$ （①）および、$A$ が最大の数であることを示す。

3つの数は $x, 10x, 100x$ ($x > 0$) の形で表され、最大の数が $A$ であることから、$\{B, C\} = \{x, 10x\}$ かつ $A = 100x$ が成り立つ。ここで、和をとると $B + C = x + 10x = 11x$ となるので、

$$ x = \frac{B + C}{11} = \frac{(a + 2) + (26 - 2a)}{11} = \frac{-a + 28}{11} $$

これを $A = 100x$ に代入すると、

$$ 10a^2 + 81a + 207 = 100 \cdot \frac{-a + 28}{11} $$

両辺を11倍して整理する。

$$ 110a^2 + 891a + 2277 = -100a + 2800 $$

$$ 110a^2 + 991a - 523 = 0 $$

これを因数分解する。

$$ (2a - 1)(55a + 523) = 0 $$

条件①より、$a = -\frac{523}{55} \approx -9.51$ は不適であるから、$a = \frac{1}{2}$ と求まる。

最後に、これが十分条件を満たすか確認する。 $a = \frac{1}{2}$ のとき、$B = \frac{5}{2}, C = 25$ となり、確かに $\{B, C\} = \{x, 10x\}$ （$x = \frac{5}{2}$）の形になっている。よって、求める値は $a = \frac{1}{2}$ である。