東北大学 1998年 文系 第2問 解説

方針・初手

まず $g(m),g(n),g(m+n)$ は対数の性質でただちに整理できる。

次に、$f$ と $g$ の比較には相加平均と相乗平均の関係を用いる。

最後に $f(m+n)$ と $f(m)+f(n)$ の比較は、対数の中身を直接比べればよい。

解法1

$g(m)$ は

$$ g(m)=\frac{\log(a^m)+\log(b^m)}{2} =\frac{m\log a+m\log b}{2} =\frac{m}{2}(\log a+\log b) $$

であるから、

$$ g(m+n)=\frac{m+n}{2}(\log a+\log b)=g(m)+g(n) $$

となる。したがって

$$ g(m+n)=g(m)+g(n) $$

である。

次に、$0<a<b$ より $a^m\neq b^m$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より

$$ \frac{a^m+b^m}{2}>\sqrt{a^m b^m} $$

が成り立つ。対数関数は単調増加であるので、

$$ f(m)=\log \frac{a^m+b^m}{2} > # \log \sqrt{a^m b^m} # \frac{\log(a^m)+\log(b^m)}{2} g(m) $$

となる。同様に

$$ f(n)>g(n), \qquad f(m+n)>g(m+n) $$

である。よって

$$ f(m)+f(n)>g(m)+g(n)=g(m+n) $$

が従う。

さらに $f(m+n)$ と $f(m)+f(n)$ を比べる。

$$ f(m)+f(n) ========= \log \frac{a^m+b^m}{2} + \log \frac{a^n+b^n}{2} ====================== \log \frac{(a^m+b^m)(a^n+b^n)}{4} $$

であるから、対数の中身を比較すればよい。

ここで

$$ 2(a^{m+n}+b^{m+n})-(a^m+b^m)(a^n+b^n) $$

を計算すると、

$$ \begin{aligned} &2(a^{m+n}+b^{m+n})-(a^{m+n}+a^m b^n+a^n b^m+b^{m+n}) \ &=a^{m+n}+b^{m+n}-a^m b^n-a^n b^m \ &=(a^m-b^m)(a^n-b^n) \end{aligned} $$

となる。

$0<a<b$ より $a^m-b^m<0,\ a^n-b^n<0$ なので、

$$ (a^m-b^m)(a^n-b^n)>0 $$

である。したがって

$$ 2(a^{m+n}+b^{m+n})>(a^m+b^m)(a^n+b^n) $$

すなわち

$$ \frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2} > \frac{(a^m+b^m)(a^n+b^n)}{4} $$

である。再び対数関数の単調増加性より

$$ f(m+n)>f(m)+f(n) $$

を得る。

以上をまとめると、

$$ g(m+n)=g(m)+g(n)<f(m)+f(n)<f(m+n) $$

である。

解説

$g$ は対数の加法法則により一次式になり、加法性

$$ g(m+n)=g(m)+g(n) $$

をもつ。

一方、$f$ は $a^m,b^m$ の相加平均の対数であり、$g$ は相乗平均の対数であるから、まず $f(m)>g(m)$ が基本となる。

さらに $f(m+n)$ と $f(m)+f(n)$ の比較では、対数を外して中身を比べるのが自然であり、その差が

$$ (a^m-b^m)(a^n-b^n) $$

と因数分解できることが決め手である。

答え

$$ g(m+n)=g(m)+g(n)<f(m)+f(n)<f(m+n) $$