東北大学 2001年 文系 第2問 解説

方針・初手

放物線 $y=(x-p)^2-2$ の頂点は $(p,-2)$ であり、常に三角形の外にある。

したがって、放物線が三角形と交わるための必要十分条件は、三角形の3辺のいずれかと交わることである。そこで、各辺との交点条件を調べ、最後にそれらをまとめる。

解法1

三角形の3辺は

• $x=0$
• $y=2$
• $y=2x$

である。

1. 辺 $x=0$ との交点

$x=0$ を放物線に代入すると

$$ y=p^2-2 $$

となる。

この点が辺 $x=0$ 上にあるには $0\le y\le 2$ が必要であるから、

$$ 0\le p^2-2\le 2 $$

すなわち

$$ 2\le p^2\le 4 $$

より

$$ p\in[-2,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,2] $$

である。

2. 辺 $y=2$ との交点

$y=2$ を放物線に代入すると

$$ (x-p)^2-2=2 $$

より

$$ (x-p)^2=4 $$

したがって

$$ x=p\pm2 $$

である。

この点が辺 $y=2$ 上にあるには $0\le x\le 1$ が必要であるから、

(i)

$x=p+2$ のとき

$$ 0\le p+2\le 1 $$

より

$$ -2\le p\le -1 $$

(ii)

$x=p-2$ のとき

$$ 0\le p-2\le 1 $$

より

$$ 2\le p\le 3 $$

したがって

$$ p\in[-2,-1]\cup[2,3] $$

である。

3. 辺 $y=2x$ との交点

$y=2x$ を放物線に代入すると

$$ (x-p)^2-2=2x $$

であるから、

$$ (x-p)^2=2x+2 $$

よって

$$ p=x\pm\sqrt{2x+2} $$

となる。

ここで、この辺上では $0\le x\le 1$ である。

まず

$$ f(x)=x-\sqrt{2x+2},\qquad g(x)=x+\sqrt{2x+2} $$

とおく。

すると

$$ f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{2x+2}},\qquad g'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x+2}} $$

であり、$0\le x\le 1$ では $\sqrt{2x+2}\ge\sqrt2>1$ なので

$$ f'(x)>0,\qquad g'(x)>0 $$

である。したがって $f,g$ はともに単調増加である。

端点での値は

$$ f(0)=-\sqrt2,\qquad f(1)=-1 $$

$$ g(0)=\sqrt2,\qquad g(1)=3 $$

であるから、取りうる $p$ の範囲は

$$ p\in[-\sqrt2,-1]\cup[\sqrt2,3] $$

となる。

4. 全体のまとめ

以上をまとめると、求める範囲は

$$ \bigl([-2,-\sqrt2]\cup[\sqrt2,2]\bigr) \cup \bigl([-2,-1]\cup[2,3]\bigr) \cup \bigl([-\sqrt2,-1]\cup[\sqrt2,3]\bigr) $$

であり、これは

$$ [-2,-1]\cup[\sqrt2,3] $$

に等しい。

解説

頂点が常に $y=-2$ にあるため、放物線全体が三角形の内部に入り込むことはない。したがって、三角形との交わりは辺との交点条件を調べれば十分である。

特に斜辺 $y=2x$ との交点では、$x$ を媒介変数のように見て

$$ p=x\pm\sqrt{2x+2} $$

と表すと、$p$ の範囲を単調性でそのまま求められるのが要点である。

答え

$$ -2\le p\le -1 \ \text{または}\ \sqrt2\le p\le 3 $$