東北大学 1970年 理系 第4問 解説

方針・初手

点 $P=(x,f(x))$ における接線の $x$ 切片を $T$ とし，$P$ から $x$ 軸に下ろした足を $M=(x,0)$ とする。

まず，接線の方程式から $TM$ を $f(x),f'(x)$ で表す。すると条件 「$TM\cdot OM=a$」 が微分方程式に直るので，$f(x)$ が単調増加か単調減少かで場合分けして解けばよい。 その後，$(1,1)$ が変曲点となる条件を $f''(1)=0$ と符号変化で判定する。

解法1

点 $P=(x,y)$ とおく。ただし $y=f(x)$，$x>0$，$y>0$ である。

$P$ における接線は

$$ Y-y=f'(x)(X-x) $$

である。これが $x$ 軸と交わる点を $T=(X_T,0)$ とすると，

$$ -y=f'(x)(X_T-x) $$

より，

$$ X_T=x-\frac{y}{f'(x)} $$

となる。したがって

• $OM=x$
• $TM=\left|X_T-x\right|=\left|\dfrac{y}{f'(x)}\right|$

であるから，条件 $TM\cdot OM=a$ は

$$ x\left|\frac{y}{f'(x)}\right|=a $$

すなわち

$$ \left|f'(x)\right|=\frac{x}{a}f(x) $$

を意味する。

ここで $f(x)$ はつねに増加するか，つねに減少するかのどちらかであるから，$f'(x)$ の符号は一定である。

（i） $f(x)$ がつねに増加する場合

このとき $f'(x)>0$ なので，

$$ f'(x)=\frac{x}{a}f(x) $$

である。よって

$$ \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{x}{a} $$

を積分して，

$$ \log f(x)=\frac{x^2}{2a}+C $$

したがって

$$ f(x)=Ce^{\frac{x^2}{2a}} $$

となる。条件 $f(1)=1$ より

$$ 1=Ce^{\frac{1}{2a}} $$

であるから，

$$ C=e^{-\frac{1}{2a}} $$

よって

$$ f(x)=e^{\frac{x^2-1}{2a}} $$

を得る。

（ii） $f(x)$ がつねに減少する場合

このとき $f'(x)<0$ なので，

$$ f'(x)=-\frac{x}{a}f(x) $$

である。よって

$$ \frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{x}{a} $$

を積分して，

$$ \log f(x)=-\frac{x^2}{2a}+C $$

したがって

$$ f(x)=Ce^{-\frac{x^2}{2a}} $$

となる。条件 $f(1)=1$ より

$$ 1=Ce^{-\frac{1}{2a}} $$

であるから，

$$ C=e^{\frac{1}{2a}} $$

よって

$$ f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2a}} $$

を得る。

以上より，

$$ f(x)=e^{\frac{x^2-1}{2a}} \quad \text{または} \quad f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2a}} $$

である。

次に，$(1,1)$ が変曲点となる条件を調べる。

（iii） 増加する場合の変曲点条件

$$ f(x)=e^{\frac{x^2-1}{2a}} $$

とすると，

$$ f'(x)=\frac{x}{a}f(x) $$

さらに

$$ f''(x)=\frac{1}{a}f(x)+\frac{x}{a}f'(x) =f(x)\left(\frac{1}{a}+\frac{x^2}{a^2}\right) $$

である。$a>0$，$f(x)>0$ だから $f''(x)>0$ が常に成り立つ。したがってこの場合，変曲点は存在しない。

（iv） 減少する場合の変曲点条件

$$ f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2a}} $$

とすると，

$$ f'(x)=-\frac{x}{a}f(x) $$

さらに

$$ f''(x) =-\frac{1}{a}f(x)-\frac{x}{a}f'(x) =f(x)\left(-\frac{1}{a}+\frac{x^2}{a^2}\right) =f(x)\frac{x^2-a}{a^2} $$

である。

点 $(1,1)$ が変曲点であるためには，まず $f''(1)=0$ が必要である。よって

$$ f''(1)=f(1)\frac{1-a}{a^2}=0 $$

より

$$ a=1 $$

を得る。

このとき

$$ f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2}} $$

であり，

$$ f''(x)=f(x)(x^2-1) $$

となるから，

• $0<x<1$ で $f''(x)<0$
• $x>1$ で $f''(x)>0$

である。したがって確かに $(1,1)$ は変曲点である。

また，

$$ f'(x)=-xe^{\frac{1-x^2}{2}}<0 \quad (x>0) $$

より単調減少であり，

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 $$

である。さらに $x=0$ まで延長して見れば $f(0)=e^{1/2}=\sqrt e$ である。

よって概形は，$(0,\sqrt e)$ 付近から出発して右下がりに減少し，$(1,1)$ を変曲点として，その後は下に凸のまま $x$ 軸に近づく曲線である。

解説

この問題の要点は，幾何条件を接線の $x$ 切片で式に直すことである。 接線の $x$ 切片の $x$ 座標は

$$ x-\frac{f(x)}{f'(x)} $$

となるので，$TM$ は $\left|\dfrac{f(x)}{f'(x)}\right|$ と書ける。これにより条件がそのまま微分方程式になる。

また，単調増加か単調減少かで $f'(x)$ の符号が決まるため，絶対値を外す際に場合分けが必要である。 変曲点については $f''(1)=0$ だけでは不十分で，前後で $f''$ の符号が変わることまで確認する必要がある。

答え

$$ f(x)=e^{\frac{x^2-1}{2a}} \quad \text{または} \quad f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2a}} $$

である。

さらに $(1,1)$ が変曲点となるのは減少する場合に限られ，

$$ a=1 $$

である。

そのとき

$$ f(x)=e^{\frac{1-x^2}{2}} $$

となり，曲線は第1象限で単調減少し，$(1,1)$ を変曲点として，右へ行くほど $x$ 軸に近づく。