東北大学 1987年 理系 第3問 解説

方針・初手

両方の曲線に接する直線を、$y=e^x$ の接点と $y=ax^2$ の接点をそれぞれ文字でおいて表す。

すると、同じ直線であるための条件から $a$ を1変数の関数として表せるので、その方程式の実数解の個数を調べればよい。

解法1

$y=e^x$ 上の $x=t$ における接線を考える。

このとき傾きは $e^t$ であり、接線の方程式は

$$ y=e^t(x-t)+e^t=e^t x+e^t(1-t) $$

である。

次に、$y=ax^2$ 上の $x=s$ における接線を考える。

このとき傾きは $2as$ であり、接線の方程式は

$$ y=2as(x-s)+as^2=2asx-as^2 $$

である。

これらが同じ直線であるためには、傾きと切片が一致するから

$$ e^t=2as $$

および

$$ e^t(1-t)=-as^2 $$

が成り立つ。

前式から $s\neq 0$ であり、

$$ a=\frac{e^t}{2s} $$

である。これを後式に代入すると

$$ e^t(1-t)=-\frac{e^t}{2s}s^2=-\frac{e^t s}{2} $$

となるので、$e^t\neq 0$ を用いて

$$ 1-t=-\frac{s}{2} $$

すなわち

$$ s=2(t-1) $$

を得る。

したがって

$$ a=\frac{e^t}{2\cdot 2(t-1)}=\frac{e^t}{4(t-1)} $$

である。

よって、求める直線の本数は、方程式

$$ a=\frac{e^t}{4(t-1)} $$

の実数解 $t$ の個数に等しい。

そこで

$$ f(t)=\frac{e^t}{4(t-1)} \qquad (t\neq 1) $$

とおく。

$f'(t)$ を求めると

$$ f'(t)=\frac{e^t(t-2)}{4(t-1)^2} $$

であるから、$f$ の増減は次のようになる。

(i)

$t<1$ のとき

$t-2<0$ であり、$(t-1)^2>0$ だから $f'(t)<0$ である。したがって $(-\infty,1)$ で単調減少する。

また、

$$ \lim_{t\to -\infty} f(t)=0^{-}, \qquad \lim_{t\to 1^-} f(t)=-\infty $$

であるから、$t<1$ における値域は

$$ (-\infty,0) $$

である。

よって $a<0$ のとき、解はちょうど1個である。

(ii)

$1<t<2$ のとき

このときも $t-2<0$ なので $f'(t)<0$、したがって単調減少する。

さらに

$$ \lim_{t\to 1^+} f(t)=+\infty, \qquad f(2)=\frac{e^2}{4} $$

であるから、$(1,2]$ における値域は

$$ \left[\frac{e^2}{4},\infty\right) $$

である。

(iii)

$t>2$ のとき

$t-2>0$ なので $f'(t)>0$、したがって単調増加する。

また

$$ f(2)=\frac{e^2}{4}, \qquad \lim_{t\to \infty} f(t)=\infty $$

より、$[2,\infty)$ における値域も

$$ \left[\frac{e^2}{4},\infty\right) $$

である。

以上より、$a>0$ のときは

• $0<a<\dfrac{e^2}{4}$ なら解なし
• $a=\dfrac{e^2}{4}$ なら解1個
• $a>\dfrac{e^2}{4}$ なら解2個

となる。

したがって、両方の曲線に接する直線の本数はこれで決まる。

解説

接線を「接点の座標」で表すのが基本方針である。

この問題では、2本の接線の式を一致させることで $a=\dfrac{e^t}{4(t-1)}$ という形に落とし込める。あとはこの関数のグラフの形、特に $t=1$ での垂直漸近線と $t=2$ での極小値を押さえれば、本数判定が一気にできる。

指数関数の接線と放物線の接線を別々に書き、傾きと切片を比較するのが最も自然な処理である。

答え

両方の曲線 $y=e^x,\ y=ax^2$ に接する直線の本数は

$$ \begin{cases} 1 & (a<0),\\ 0 & \left(0<a<\dfrac{e^2}{4}\right),\\ 1 & \left(a=\dfrac{e^2}{4}\right),\\ 2 & \left(a>\dfrac{e^2}{4}\right) \end{cases} $$

である。