大阪大学 1997年 理系 第4問 解説

方針・初手

曲線 (y=e^x) 上の点 ((t,e^t)) における法線を考え、その法線が点 (P(a,3)) を通る条件を (a) と (t) の関係式に直す。法線は接点 (t) が決まれば一意に決まるので、求める本数 (n(a)) は、その関係式 [ a=e^{2t}-3e^t+t ] を満たす実数 (t) の個数に等しい。あとはこの関数の増減を調べればよい。

解法1

曲線 (y=e^x) 上の点 ((t,e^t)) における接線の傾きは (e^t) である。したがって、その点における法線の傾きは [ -e^{-t} ] であり、法線の方程式は [ y-e^t=-e^{-t}(x-t) ] である。

この法線が点 (P(a,3)) を通るための条件は [ 3-e^t=-e^{-t}(a-t) ] である。両辺に (e^t) をかけると [ 3e^t-e^{2t}=-a+t ] となるので、 [ a=e^{2t}-3e^t+t ] を得る。

よって [ g(t)=e^{2t}-3e^t+t ] とおくと、(n(a)) は方程式 (g(t)=a) の実数解の個数である。

導関数は [ g'(t)=2e^{2t}-3e^t+1=(e^t-1)(2e^t-1) ] である。したがって、臨界点は [ t=-\log 2,\quad t=0 ] である。

増減は次のようになる。

[ \begin{array}{c|ccccc} t & -\infty & & -\log 2 & & 0 & & \infty\ \hline g'(t) & + & 0 & - & 0 & +\ g(t) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow \end{array} ]

また [ \lim_{t\to-\infty}g(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to\infty}g(t)=\infty ] であり、 [ g(-\log 2)=\frac14-\frac32-\log 2=-\frac54-\log 2 ] および [ g(0)=1-3=-2 ] である。

ここで [ -2<-\frac54-\log 2 ] であるから、グラフは (t=-\log 2) で極大値 (-\frac54-\log 2)、(t=0) で極小値 (-2) をとる。

したがって、直線 (y=a) との交点の個数を数えると、 [ n(a)= \begin{cases} 1 & \left(a<-2\right),\ 2 & \left(a=-2\right),\ 3 & \left(-2<a<-\dfrac54-\log 2\right),\ 2 & \left(a=-\dfrac54-\log 2\right),\ 1 & \left(a>-\dfrac54-\log 2\right). \end{cases} ]

解説

注意すべき点は、法線が (P(a,3)) を通る条件の符号である。 [ 3-e^t=-e^{-t}(a-t) ] からは [ a=e^{2t}-3e^t+t ] が導かれる。ここで指数項の符号を逆にすると、増減も極値も完全に変わってしまう。

接点 (t) が異なれば法線の傾き (-e^{-t}) も異なるため、方程式 (g(t)=a) の解の個数をそのまま法線の本数として数えてよい。

答え

[ n(a)= \begin{cases} 1 & \left(a<-2\right),\ 2 & \left(a=-2\right),\ 3 & \left(-2<a<-\dfrac54-\log 2\right),\ 2 & \left(a=-\dfrac54-\log 2\right),\ 1 & \left(a>-\dfrac54-\log 2\right). \end{cases} ]