東北大学 1979年 理系 第6問 解説

方針・初手

時刻 $t$ におけるタンク内の水量と水面の高さを変数でおき、問題文の条件を数式に翻訳する。「流出する水量の速さ」は水量の時間変化率の符号を反転させたもの（$-\frac{dV}{dt}$）であることに注意し、水量についての微分方程式を立てて解いていく。

解法1

時刻 $t$（$t \geqq 0$）におけるタンク内の水量を $V(t)$、水面の高さを $y(t)$ とおく。 底面の半径が $r$ の直円柱であるから、水量と水面の高さの間には以下の関係が成り立つ。

$$ V(t) = \pi r^2 y(t) $$

これより、水面の高さは $y(t) = \frac{V(t)}{\pi r^2}$ と表せる。

また、「流出する水量の速さは水面の高さに比例する」という条件から、正の比例定数を $k$ として

$$ -\frac{dV(t)}{dt} = k y(t) $$

と立式できる。これに $y(t) = \frac{V(t)}{\pi r^2}$ を代入すると、

$$ -\frac{dV(t)}{dt} = \frac{k}{\pi r^2} V(t) $$

$$ \frac{dV(t)}{dt} = - \frac{k}{\pi r^2} V(t) $$

ここで $K = \frac{k}{\pi r^2}$ （$K > 0$）とおくと、微分方程式は

$$ \frac{dV(t)}{dt} = -K V(t) $$

となる。両辺を $V(t)$ で割って $t$ で積分すると、

$$ \int \frac{1}{V(t)} \frac{dV(t)}{dt} dt = \int -K dt $$

$$ \int \frac{1}{V} dV = \int -K dt $$

$$ \log |V| = -Kt + C \quad （Cは積分定数） $$

$V > 0$ であるから、

$$ V(t) = e^{-Kt+C} = e^C e^{-Kt} $$

$A = e^C$ とおくと、$A > 0$ であり、水量は

$$ V(t) = A e^{-Kt} $$

となる。

次に、条件から定数を決定する。 時刻 $t=0$ のとき、タンクには高さ $h$ まで水が入っているため、初期の水量は

$$ V(0) = \pi r^2 h $$

である。一方で $V(0) = A e^0 = A$ であるから、

$$ A = \pi r^2 h $$

となり、水量は

$$ V(t) = \pi r^2 h e^{-Kt} $$

と表せる。

また、「$1$ 時間後には全体の $\alpha\ \%$ が流出した」という条件から、時刻 $t=1$ における残存水量は最初の水量の $\left(1 - \frac{\alpha}{100}\right)$ 倍である。すなわち、

$$ V(1) = V(0) \left( 1 - \frac{\alpha}{100} \right) = \pi r^2 h \left( 1 - \frac{\alpha}{100} \right) $$

である。先ほど求めた式で $t=1$ とすると $V(1) = \pi r^2 h e^{-K}$ となるため、これらを比較して

$$ e^{-K} = 1 - \frac{\alpha}{100} $$

を得る。

以上より、$t$ 時間後にタンクに残っている水量 $V(t)$ は

$$ \begin{aligned} V(t) &= \pi r^2 h e^{-Kt} \\ &= \pi r^2 h (e^{-K})^t \\ &= \pi r^2 h \left( 1 - \frac{\alpha}{100} \right)^t \end{aligned} $$

となる。

解説

問題文の「流出する水量の速さ」を正しく微分方程式に翻訳できるかがポイントである。水量の時間変化 $\frac{dV}{dt}$ は「増える速度」を意味するため、流出（減少）する場合は $-\frac{dV}{dt}$ となることに注意したい。

立式した結果 $\frac{dV}{dt} = -KV$ の形になるが、これは「変化速度が現在の量に比例する」という自然界でよく見られる指数減衰のモデルである。

なお、現実の物理現象としてタンクの底から水が漏れる場合、トリチェリの定理により流出速度は「水面の高さの平方根（$\sqrt{h}$）」に比例する。しかし、本問はあくまで「水面の高さに比例する」という与えられた仮定のもとで数学的なモデルを解く問題であるため、物理法則ではなく問題文の条件に素直に従って立式することが求められている。

答え

$$ \pi r^2 h \left( 1 - \frac{\alpha}{100} \right)^t $$