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東北大学 1981年理系第3問解説

方針・初手

速度ベクトル $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ と加速度ベクトル $\vec{a} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$ の定義に従って計算を進める。与えられた速度の $x$ 成分 $\frac{dx}{dt}$ を積分し、初期条件を用いて $x$ を $t$ の関数として表す。点 P は $y = x^2$ 上にあることから $y$ 座標も $t$ で表せるため、そこから速度の $y$ 成分 $\frac{dy}{dt}$ を導出する。その後、$\frac{dy}{dt}$ を $t$ で微分し、その最大値を調べる。

解法1

時刻 $t$ における点 P の座標を $(x, y)$ とおく。条件より、速度ベクトルの $x$ 成分は $\frac{dx}{dt} = \sin t$ である。両辺を $t$ について積分すると、

$$ x = \int \sin t \, dt = -\cos t + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

$t=0$ のとき P の位置は原点 $(0, 0)$ であるから、$x = 0$ より、

$$ 0 = -\cos 0 + C \iff C = 1 $$

したがって、位置の $x$ 座標は次のように表される。

$$ x = 1 - \cos t $$

また、点 P は放物線 $y = x^2$ 上を動くので、

$$ y = (1 - \cos t)^2 $$

速度ベクトルの $y$ 成分を $v_y$ とすると、

$$ \begin{aligned} v_y &= \frac{dy}{dt} \\ &= 2(1 - \cos t) \cdot (1 - \cos t)' \\ &= 2(1 - \cos t)\sin t \\ &= 2\sin t - 2\sin t \cos t \\ &= 2\sin t - \sin 2t \end{aligned} $$

$v_y$ が最大となるときの $t$ の条件を求めるため、$v_y$ を $t$ で微分する。

$$ \begin{aligned} \frac{dv_y}{dt} &= 2\cos t - 2\cos 2t \\ &= 2\cos t - 2(2\cos^2 t - 1) \\ &= -4\cos^2 t + 2\cos t + 2 \\ &= -2(2\cos^2 t - \cos t - 1) \\ &= -2(2\cos t + 1)(\cos t - 1) \end{aligned} $$

$\frac{dv_y}{dt} = 0$ となるのは、$\cos t = -\frac{1}{2}, 1$ のときである。 $v_y$ は周期 $2\pi$ の関数であるから、$0 \leqq t \leqq 2\pi$ の範囲で増減を調べる。 $\cos t = -\frac{1}{2}$ となるのは $t = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ であり、$\cos t = 1$ となるのは $t = 0, 2\pi$ である。

増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{3}\pi$	$\cdots$	$\frac{4}{3}\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$\frac{dv_y}{dt}$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$
$v_y$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$0$

$t = \frac{2}{3}\pi$ のとき、

$$ v_y = 2\sin \frac{2}{3}\pi - \sin \frac{4}{3}\pi = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

$t = \frac{4}{3}\pi$ のとき、

$$ v_y = 2\sin \frac{4}{3}\pi - \sin \frac{8}{3}\pi = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $$

よって、$v_y$ が最大となるのは $\cos t = -\frac{1}{2}$ かつ $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすときである（周期性から、すべての $t$ についてもこれが最大値を与える条件となる）。

このときの P の位置 $(x, y)$ は、

$$ x = 1 - \cos t = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} $$

$$ y = x^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} $$

よって、求める位置は $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ である。

次に、このときの速度ベクトル $\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ を求める。

$$ \frac{dx}{dt} = \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$\frac{dy}{dt}$ は求めた最大値に等しいため、

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$

よって、速度ベクトルは $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ である。

さらに、加速度ベクトル $\vec{a} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$ を求める。

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t $$

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{dv_y}{dt} $$

$v_y$ が最大となるとき $\frac{dv_y}{dt} = 0$ であり、$\cos t = -\frac{1}{2}$ であるから、

$$ \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{2} $$

$$ \frac{d^2y}{dt^2} = 0 $$

よって、加速度ベクトルは $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ である。

解法2

合成関数の微分を用いて速度の $y$ 成分を求めることもできる。点 P の座標を $(x, y)$ とすると、$y = x^2$ より、両辺を $t$ で微分して、

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} $$

と表せる。ここで、$\frac{dx}{dt} = \sin t$ であり、解法1と同様に積分して初期条件 $(t=0$ で $x=0)$ を用いると $x = 1 - \cos t$ を得る。これらを代入すると、

$$ \frac{dy}{dt} = 2(1 - \cos t)\sin t $$

となる。以後の最大値を求める手順および速度・加速度ベクトルの導出は解法1と同様である。

解説

速度ベクトルと加速度ベクトルの定義に基づき、微積分を用いて座標やベクトル成分を導出する標準的な問題である。速度の $x$ 成分が与えられているため、積分によって位置 $x$ を求め、軌跡の方程式から $y$ を $t$ で表すことができる。増減を調べる際の微分計算では、$\sin 2t$ に直してから微分するか、積の微分法を用いるかで計算量が少し変わるが、いずれにせよ導関数を因数分解して符号変化を正確に読み取ることがポイントとなる。最大値をとる瞬間の導関数の値（加速度の $y$ 成分）が $0$ になることを利用すると、最後の計算がスムーズに行える。