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東北大学 1997年理系第4問解説

方針・初手

正方形内で曲線 (E) の左側にある部分の面積を (S(a)) とする。正方形の面積は (16) であるから，(E) が正方形の面積を2等分する条件は

$$ S(a)=8 $$

である。

曲線 (E) は

$$ y=(x-a)^2-4,\quad x\ge a $$

より，(y) を用いて

$$ x=a+\sqrt{y+4} $$

と表せる。右半分だけを取っているので，正方形内では各高さ (y) ごとに左右を分ける曲線として扱える。

また，(a) を大きくすると曲線全体は右へ平行移動するので，(S(a)) は単調に増加する。したがって解は高々1個である。

解法1

まず，解がどの範囲にあるかを見る。

(a=-2) のとき，曲線は (A(0,0)) を通り，正方形内では下辺から上辺まで通る。このとき

$$ \begin{aligned} S(-2) &=\int_0^4 \left(-2+\sqrt{y+4}\right),dy \ &=-8+\int_0^4 \sqrt{y+4},dy \ &=-8+\int_4^8 \sqrt{u},du \ &=-8+\frac{2}{3}\left(8^{3/2}-4^{3/2}\right) \ &=-8+\frac{32\sqrt{2}-16}{3} =\frac{32\sqrt{2}-40}{3} <8 \end{aligned} $$

である。

次に (a=4-2\sqrt{2}) のとき，曲線は (C(4,4)) を通り，同様に正方形内では下辺から上辺まで通る。このとき

$$ \begin{aligned} S(4-2\sqrt{2}) &=\int_0^4 \left(4-2\sqrt{2}+\sqrt{y+4}\right),dy \ &=4(4-2\sqrt{2})+\frac{32\sqrt{2}-16}{3} \ &=\frac{32+8\sqrt{2}}{3} > 8 > \end{aligned} > $$

となる。

(S(a)) は単調増加であるから，求める (a) は

$$ -2<a<4-2\sqrt{2} $$

にただ1つ存在する。

この範囲では，曲線は正方形の下辺 (y=0) から上辺 (y=4) まで通るので，正方形内で左側の面積は

$$ S(a)=\int_0^4 \left(a+\sqrt{y+4}\right),dy $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} S(a) &=4a+\int_0^4 \sqrt{y+4},dy \ &=4a+\int_4^8 \sqrt{u},du \ &=4a+\frac{2}{3}\left(8^{3/2}-4^{3/2}\right) \ &=4a+\frac{32\sqrt{2}-16}{3} \end{aligned} $$

したがって (S(a)=8) より

$$ \begin{aligned} 4a+\frac{32\sqrt{2}-16}{3}&=8 \ 12a+32\sqrt{2}-16&=24 \ 12a&=40-32\sqrt{2} \ a&=\frac{10-8\sqrt{2}}{3} \end{aligned} $$

となる。