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東北大学 2019年理系第5問解説

方針・初手

（1）は、被積分関数の分母にある $1+e^x$ と $1+e^{-x}$ を組にして見るのが自然である。$x\mapsto -x$ の置換を行うと、2つを足したときに分母が消える。

（2）は、積分部分が $x$ に関して $e^x$ と定数の一次式になっているので、

$$ A=\int_{-1}^1 f(t),dt,\qquad B=\int_{-1}^1 e^t f(t),dt $$

とおいて整理するのが初手である。すると積分方程式が $A,B$ を含む通常の式に落ちる。

解法1

(1)

$$ I=\int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx $$

とおく。ここで $x\mapsto -x$ と置換すると、$\sin^2(\pi x)$ は偶関数であるから

$$ I=\int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^{-x}},dx $$

でもある。よって両式を足すと

$$ 2I=\int_{-1}^1 \sin^2(\pi x)\left(\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\right),dx $$

となるが、

$$ \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1 $$

であるから

$$ 2I=\int_{-1}^1 \sin^2(\pi x),dx $$

を得る。

さらに $\sin^2(\pi x)$ は周期 $1$ をもつので

$$ \int_{-1}^1 \sin^2(\pi x),dx =2\int_0^1 \sin^2(\pi x),dx $$

である。したがって

$$ I=\int_0^1 \sin^2(\pi x),dx $$

となる。

最後に

$$ \sin^2(\pi x)=\frac{1-\cos(2\pi x)}{2} $$

より、

$$ \int_0^1 \sin^2(\pi x),dx =\int_0^1 \frac{1-\cos(2\pi x)}{2},dx =\frac12 $$

である。ゆえに

$$ \int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx ========================================== # \int_0^1 \sin^2(\pi x),dx \frac12 $$

が成り立つ。

(2)

まず

$$ A=\int_{-1}^1 f(t),dt,\qquad B=\int_{-1}^1 e^t f(t),dt $$

とおく。すると

$$ \int_{-1}^1 (e^x-e^t+1)f(t),dt =e^x\int_{-1}^1 f(t),dt-\int_{-1}^1 e^t f(t),dt+\int_{-1}^1 f(t),dt =(1+e^x)A-B $$

であるから、与えられた式は

$$ (1+e^x)f(x)=\sin^2(\pi x)+(1+e^x)A-B $$

となる。よって

$$ f(x)=A+\frac{\sin^2(\pi x)-B}{1+e^x} $$

を得る。

ここでこの式を $[-1,1]$ で積分する。すると

$$ A=\int_{-1}^1 f(x),dx =2A+\int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx -B\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^x},dx $$

である。

（i）まず（1）より

$$ \int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx=\frac12 $$

である。

（ii）また

$$ \int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^x},dx $$

についても、（1）と同様に $x\mapsto -x$ を用いれば

$$ \int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^x},dx ============================== \frac12\int_{-1}^1 \left( \frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}} \right),dx ========== \frac12\int_{-1}^1 1,dx =1 $$

となる。

したがって

$$ A=2A+\frac12-B $$

すなわち

$$ B=A+\frac12 $$

を得る。

次に、先ほどの $f(x)$ の式に $e^x$ を掛けて $[-1,1]$ で積分する。すると

$$ B=\int_{-1}^1 e^x f(x),dx =A\int_{-1}^1 e^x,dx +\int_{-1}^1 \frac{e^x\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx -B\int_{-1}^1 \frac{e^x}{1+e^x},dx $$

となる。

ここで

$$ \int_{-1}^1 e^x,dx=e-e^{-1} $$

であり、また

$$ \frac{e^x}{1+e^x}=1-\frac{1}{1+e^x} $$

より

$$ \int_{-1}^1 \frac{e^x\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx ============================================= ## \int_{-1}^1 \sin^2(\pi x),dx \int_{-1}^1 \frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x},dx =1-\frac12=\frac12 $$

である。また

$$ \int_{-1}^1 \frac{e^x}{1+e^x},dx ================================ \int_{-1}^1 1,dx-\int_{-1}^1 \frac{1}{1+e^x},dx =2-1=1 $$

であるから、

$$ B=A(e-e^{-1})+\frac12-B $$

すなわち

$$ 2B=A(e-e^{-1})+\frac12 $$

を得る。

ここに $B=A+\frac12$ を代入すると

$$ 2\left(A+\frac12\right)=A(e-e^{-1})+\frac12 $$

より

$$ A(e-e^{-1}-2)=\frac12 $$

となるので、

$$ A=\frac{1}{2(e-e^{-1}-2)} $$

である。したがって

$$ B=A+\frac12 $$

であり、これを

$$ f(x)=A+\frac{\sin^2(\pi x)-B}{1+e^x} $$

に代入すると

$$ f(x) ==== \frac{\sin^2(\pi x)-\frac12+\frac{e^x}{2(e-e^{-1}-2)}}{1+e^x} $$

を得る。これが求める関数である。

解説

この問題の要点は、対称性をうまく使うことである。

（1）では $x\mapsto -x$ の置換によって、$\dfrac{1}{1+e^x}$ と $\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ が補い合って $1$ になる。これにより分母が消え、積分が一気に簡単になる。

（2）では、積分部分に含まれる $x$ 依存は $e^x$ だけである。そこで $\int f$ と $\int e^t f(t)$ を定数 $A,B$ とおけば、未知関数 $f(x)$ を具体式で表せる。その後は $A,B$ を積分して決めればよい。積分方程式を「定数2個を決める問題」に落としたのが本質である。