東京工業大学 1967年 理系 第1問 解説

方針・初手

正の整数 $n$ の値によって場合分けを行って解く。

$n=2$ の場合は、与式が三角関数の基本相互関係 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ そのものとなることに着目する。

$n \neq 2$ の場合は、すべての実数 $x$ に対して $0 \le |\sin x| \le 1$ および $0 \le |\cos x| \le 1$ が成り立つことを利用し、$|\sin x|^n$ と $|\sin x|^2$ の大小関係を不等式で評価して等号成立条件に帰着させる。

解法1

正の整数 $n$ について、$n=2$、$n=1$、$n \ge 3$ の3つの場合に分けて考える。

(i) $n=2$ のとき

与えられた方程式は

$$ |\sin x|^2 + |\cos x|^2 = 1 $$

すなわち

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

となる。これはすべての実数 $x$ に対して成り立つ恒等式である。したがって、方程式を満たす $x$ はすべての実数である。

(ii) $n=1$ のとき

すべての実数 $x$ に対して $0 \le |\sin x| \le 1$、$0 \le |\cos x| \le 1$ であるから、

$$ |\sin x| \ge |\sin x|^2 = \sin^2 x $$

$$ |\cos x| \ge |\cos x|^2 = \cos^2 x $$

が成り立つ。これらを辺々加えると

$$ |\sin x| + |\cos x| \ge \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

となる。与えられた方程式 $|\sin x| + |\cos x| = 1$ が成り立つのは、上の不等式において等号が成立するときのみである。等号成立条件は

$$ |\sin x| = \sin^2 x \quad \text{かつ} \quad |\cos x| = \cos^2 x $$

すなわち

$$ |\sin x|(1 - |\sin x|) = 0 \quad \text{かつ} \quad |\cos x|(1 - |\cos x|) = 0 $$

である。これより、$|\sin x| = 0, 1$ かつ $|\cos x| = 0, 1$ となる。 さらに $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を満たさなければならないため、

$$ (|\sin x|, |\cos x|) = (1, 0), (0, 1) $$

のいずれかとなる。これは $\sin x \cos x = 0$ と同値であり、2倍角の公式より $\frac{1}{2}\sin 2x = 0$、すなわち $\sin 2x = 0$ となる。 これを解くと、$m$ を整数として $2x = m\pi$ となるから、

$$ x = \frac{m\pi}{2} $$

を得る。

(iii) $n \ge 3$ のとき

(ii) と同様に $0 \le |\sin x| \le 1$、$0 \le |\cos x| \le 1$ であるから、両辺にそれぞれ正の数 $|\sin x|^{n-2}$、$|\cos x|^{n-2}$ を掛ける（または $0$ の場合を考慮する）と、

$$ |\sin x|^n \le |\sin x|^2 = \sin^2 x $$

$$ |\cos x|^n \le |\cos x|^2 = \cos^2 x $$

が成り立つ。これらを辺々加えると

$$ |\sin x|^n + |\cos x|^n \le \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

となる。与えられた方程式 $|\sin x|^n + |\cos x|^n = 1$ が成り立つのは、上の不等式において等号が成立するときのみである。等号成立条件は

$$ |\sin x|^n = \sin^2 x \quad \text{かつ} \quad |\cos x|^n = \cos^2 x $$

すなわち

$$ |\sin x|^2(1 - |\sin x|^{n-2}) = 0 \quad \text{かつ} \quad |\cos x|^2(1 - |\cos x|^{n-2}) = 0 $$

である。これより、$|\sin x| = 0, 1$ かつ $|\cos x| = 0, 1$ となる。 (ii) と同様の理由から $(|\sin x|, |\cos x|) = (1, 0), (0, 1)$ となり、これを満たす $x$ は

$$ x = \frac{m\pi}{2} $$

（$m$ は整数）となる。

解説

$0 \le X \le 1$ のとき、$n \ge 3$ ならば $X^n \le X^2$ が成り立ち、$n=1$ ならば $X \ge X^2$ が成り立つことを利用した、不等式評価による方程式の解法である。

方程式を直接解くことが難しい形をしている場合、「明らかに成り立つ不等式（今回は $0 \le |\sin x| \le 1$ など）を利用して値域を絞り込み、等号成立条件を調べる」というアプローチが非常に有効である。特に三角関数の累乗の和に関する問題では、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を基準にして次数を比較する手法が定石となる。

答え

$n=2$ のとき、すべての実数

$n=1$ または $n \ge 3$ のとき、$x = \frac{m\pi}{2}$ （$m$ は整数）