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東京工業大学 1972年理系第2問解説

方針・初手

実数係数の方程式であるため、ある虚数 $\alpha$ が根であれば、その共役複素数 $\overline{\alpha}$ も根になることに着目する。「絶対値が $1$ の虚根」という条件から、$\alpha\overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ を利用する。 3次方程式の解と係数の関係を利用して係数を決定していく方針と、極形式を利用して実部・虚部を比較する方針の2つが考えられる。

解法1

与えられた3次方程式は実数係数であるから、虚根をもてば、その共役複素数も根となる。絶対値 $1$ の虚根を $\alpha$ とすると、$\overline{\alpha}$ も根であり、これらは異なる虚数である。残りのもう1つの根を $\beta$ とおくと、$\beta$ は実数である。また、条件 $|\alpha| = 1$ より、$\alpha\overline{\alpha} = 1$ である。

3次方程式の解と係数の関係より、以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \overline{\alpha} + \beta = 0 & \cdots \text{①} \\ \alpha\overline{\alpha} + \alpha\beta + \overline{\alpha}\beta = -1 & \cdots \text{②} \\ \alpha\overline{\alpha}\beta = -k & \cdots \text{③} \end{cases} $$

③に $\alpha\overline{\alpha} = 1$ を代入すると、

$$ \beta = -k $$

条件 $k>0$ より、$\beta < 0$ である。

次に、②を変形すると、

$$ \alpha\overline{\alpha} + \beta(\alpha + \overline{\alpha}) = -1 $$

これに $\alpha\overline{\alpha} = 1$ と $\beta = -k$ を代入して、

$$ 1 - k(\alpha + \overline{\alpha}) = -1 $$

$$ k(\alpha + \overline{\alpha}) = 2 $$

$k > 0$ より $k \neq 0$ であるから、

$$ \alpha + \overline{\alpha} = \frac{2}{k} $$

①に $\beta = -k$ と $\alpha + \overline{\alpha} = \frac{2}{k}$ を代入すると、

$$ \frac{2}{k} - k = 0 $$

$$ k^2 = 2 $$

$k > 0$ であるから、

$$ k = \sqrt{2} $$

このとき、実数根は $\beta = -\sqrt{2}$ となる。また、$\alpha + \overline{\alpha} = \sqrt{2}$、$\alpha\overline{\alpha} = 1$ であるから、$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ は、$t$ についての2次方程式 $t^2 - \sqrt{2}t + 1 = 0$ の2つの解である。これを解くと、

$$ t = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2}i}{2} $$

これは虚数であり、その絶対値は $\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\pm\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ を満たしている。したがって、求める3つの根は求まった。

解法2

実数係数方程式であるため、絶対値 $1$ の虚根を $\cos\theta + i\sin\theta$ （$0 \leqq \theta < 2\pi, \sin\theta \neq 0$）とおくことができる。これを方程式 $x^3 - x + k = 0$ に代入すると、

$$ (\cos\theta + i\sin\theta)^3 - (\cos\theta + i\sin\theta) + k = 0 $$

ド・モアブルの定理を用いて展開し、整理すると、

$$ (\cos 3\theta + i\sin 3\theta) - (\cos\theta + i\sin\theta) + k = 0 $$

$$ (\cos 3\theta - \cos\theta + k) + i(\sin 3\theta - \sin\theta) = 0 $$

$k, \theta$ は実数であるから、実部と虚部を比較して、

$$ \begin{cases} \cos 3\theta - \cos\theta + k = 0 & \cdots \text{④} \\ \sin 3\theta - \sin\theta = 0 & \cdots \text{⑤} \end{cases} $$

⑤について、和と積の公式を用いると、

$$ 2\cos 2\theta \sin\theta = 0 $$

$\sin\theta \neq 0$ であるから、$\cos 2\theta = 0$ となる。倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より、

$$ 2\cos^2\theta - 1 = 0 $$

$$ \cos^2\theta = \frac{1}{2} $$

④について、3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を代入すると、

$$ 4\cos^3\theta - 4\cos\theta + k = 0 $$

$$ k = 4\cos\theta(1 - \cos^2\theta) $$

ここで $\cos^2\theta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$$ k = 4\cos\theta \left(1 - \frac{1}{2}\right) = 2\cos\theta $$

条件より $k > 0$ であるから、$\cos\theta > 0$ である。 $\cos^2\theta = \frac{1}{2}$ と併せると、

$$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

このとき、$k = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ となる。

また、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = \frac{1}{2}$ であり、$\sin\theta \neq 0$ より、

$$ \sin\theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

よって、方程式の虚根は $\frac{1}{\sqrt{2}} \pm i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2}i}{2}$ と求まる。

元の3次方程式は $x^3 - x + \sqrt{2} = 0$ となる。 3つの根の和は、解と係数の関係より $0$（$x^2$ の係数が $0$ のため）であるから、実数根を $\beta$ とすると、

$$ \beta + \left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}{2}\right) = 0 $$

$$ \beta + \sqrt{2} = 0 $$

$$ \beta = -\sqrt{2} $$

以上より、3つの根がすべて求まる。

解説

「実数係数方程式が虚数解をもてば、その共役複素数も解になる」という性質を利用するのが定石である。解法1は、解と係数の関係を用いて代数的に処理するオーソドックスで汎用性の高い手法である。解法2のように「絶対値が $1$ の複素数」を極形式 $\cos\theta + i\sin\theta$ で表し、ド・モアブルの定理と複素数の相等条件を用いる手法も、計算の見通しがよくなる典型的なアプローチである。どちらの手法も確実にマスターしておきたい。