東京工業大学 1972年 理系 第5問 解説

方針・初手

曲線 $y = \log x$ 上の点における接線の方程式を文字でおき、それが原点を通るという条件から接点の座標を決定する。 次に、曲線と接線および $x$ 軸が囲む領域を把握し、$x$ 軸まわりの回転体の体積を定積分を用いて立式する。外側の図形（直角三角形）が作る円錐の体積から、内側の図形（曲線と $x$ 軸で囲まれた部分）が作る回転体の体積を引く方針が基本となる。

解法1

関数 $y = \log x$ の定義域は $x > 0$ であり、その導関数は $y' = \frac{1}{x}$ である。

曲線上の点 $(t, \log t)$ （$t > 0$）における接線の方程式は

$$ y - \log t = \frac{1}{t}(x - t) $$

$$ y = \frac{1}{t}x + \log t - 1 $$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$$ 0 = 0 + \log t - 1 $$

$$ \log t = 1 $$

$$ t = e $$

よって、接点の座標は $(e, 1)$ であり、接線の方程式は $y = \frac{1}{e}x$ となる。

直線 $y = \frac{1}{e}x$、曲線 $y = \log x$ および $x$ 軸で囲まれた領域は、$0 \leqq x \leqq e$ の範囲に存在する。 この領域を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積 $V$ は、底面の半径が $1$ で高さが $e$ の円錐の体積から、曲線 $y = \log x$ ($1 \leqq x \leqq e$) と $x$ 軸および直線 $x = e$ で囲まれた部分を回転させた立体の体積を引いたものに等しい。

$$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot e - \pi \int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx $$

右辺の積分を計算する。$(\log x)^2 = (x)' (\log x)^2$ とみて部分積分法を用いる。

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{e} (\log x)^2 \, dx &= \left[ x (\log x)^2 \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ &= e \cdot 1^2 - 1 \cdot 0^2 - 2 \int_{1}^{e} \log x \, dx \\ &= e - 2 \left[ x \log x - x \right]_{1}^{e} \\ &= e - 2 \left\{ (e - e) - (0 - 1) \right\} \\ &= e - 2 \end{aligned} $$

したがって、求める体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi e}{3} - \pi (e - 2) \\ &= \pi \left( \frac{e}{3} - e + 2 \right) \\ &= \pi \left( 2 - \frac{2}{3}e \right) \\ &= \frac{2(3-e)}{3}\pi \end{aligned} $$

解法2

円筒殻法（バウムクーヘン積分）を用いて体積 $V$ を求める。

求める回転体の領域は、不等式で表すと $0 \leqq y \leqq 1$ に対して、 $ey \leqq x \leqq e^y$ で与えられる。

これを $x$ 軸まわりに回転させるため、半径 $y$、高さ $(e^y - ey)$ の円筒側面の面積 $2\pi y (e^y - ey)$ を $0 \leqq y \leqq 1$ の範囲で積分すればよい。

$$ V = \int_{0}^{1} 2\pi y (e^y - ey) \, dy $$

$$ V = 2\pi \int_{0}^{1} (y e^y - e y^2) \, dy $$

各項の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} y e^y \, dy &= \left[ y e^y \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^y \, dy \\ &= e - \left[ e^y \right]_{0}^{1} \\ &= e - (e - 1) \\ &= 1 \end{aligned} $$

$$ \int_{0}^{1} e y^2 \, dy = \left[ \frac{e}{3} y^3 \right]_{0}^{1} = \frac{e}{3} $$

以上より、体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &= 2\pi \left( 1 - \frac{e}{3} \right) \\ &= \frac{2(3-e)}{3}\pi \end{aligned} $$

解説

対数関数とその接線が囲む図形の回転体の体積を求める、微分積分の標準的な問題である。

解法1では、回転体の体積の基本公式に従い、$x$ 軸に沿って輪切りにして積分する方針をとった。$\int (\log x)^2 dx$ の計算において、$1$ を $x$ の微分 $(x)'$ とみなして部分積分を2回繰り返す手法は極めて頻出の定石である。

解法2では円筒殻法（バウムクーヘン積分）を用いた。$x$ 軸まわりの回転体に対して積分変数を $y$ にとり、$x$ 軸に平行な線分の回転（円筒側面）を重ね合わせる発想である。本問のように $x = f(y)$ の形（逆関数）に直しやすい関数の場合、この方法を用いると部分積分の回数が減り、計算の見通しが良くなることが多い。

答え

$$ \frac{2(3-e)}{3}\pi $$