東京工業大学 1991年 理系 第3問 解説

方針・初手

円の中心を $P(a, 0)$ とする。求める回転体は、円外の点 $A(2,0)$ と $B(-2,0)$ から引いた接線、および接点間の円弧と $x$ 軸で囲まれた図形を回転させたものである。

まずは接点 $C, D$ の座標を求め、図形を $x$ 軸に垂直な平面で分割して体積を計算するのが基本方針である。この図形の回転体は、2つの円錐と、円弧部分を回転させてできる立体に3分割できる。計算量が膨らみやすいため、定数 $a+2$ と $2-a$ を文字で置き換えて式を整理すると、計算の見通しが劇的に良くなる。

解法1

円 $(x-a)^2 + y^2 = 1$ の中心を $P(a, 0)$ とする。

点 $A(2, 0)$ から半円に引いた接線の接点を $C(x_C, y_C)$ とすると、$y_C > 0$ であり、点 $C$ における接線の方程式は以下のようになる。

$$ (x_C-a)(x-a) + y_Cy = 1 $$

この接線が $A(2, 0)$ を通るため、次が成り立つ。

$$ (x_C-a)(2-a) = 1 $$

ここから $x_C$ および $y_C^2$ を求める。

$$ x_C = a + \frac{1}{2-a} $$

$$ y_C^2 = 1 - (x_C-a)^2 = 1 - \frac{1}{(2-a)^2} $$

同様に、点 $B(-2, 0)$ から半円に引いた接線の接点を $D(x_D, y_D)$ とすると、接線が $B(-2, 0)$ を通ることから次が成り立つ。

$$ (x_D-a)(-2-a) = 1 $$

ここから $x_D$ および $y_D^2$ を求める。

$$ x_D = a - \frac{1}{a+2} $$

$$ y_D^2 = 1 - (x_D-a)^2 = 1 - \frac{1}{(a+2)^2} $$

ここで、式の見通しを良くするために $u = a+2$、$v = 2-a$ とおく。$-1 < a < 1$ より $u > 1, v > 1$ である。このとき、各接点の情報は次のように簡潔に表せる。

$$ x_C = a + \frac{1}{v}, \quad y_C^2 = 1 - \frac{1}{v^2} $$

$$ x_D = a - \frac{1}{u}, \quad y_D^2 = 1 - \frac{1}{u^2} $$

求める体積 $V$ は、区間 $[-2, x_D]$ の直角三角形を回転させた円錐の体積 $V_1$、区間 $[x_D, x_C]$ の図形（円弧と $x$ 軸と縦線で囲まれた部分）を回転させた体積 $V_2$、区間 $[x_C, 2]$ の直角三角形を回転させた円錐の体積 $V_3$ の和である。

まず $V_1$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V_1 &= \frac{1}{3} \pi y_D^2 \{ x_D - (-2) \} \\ &= \frac{1}{3} \pi \left( 1 - \frac{1}{u^2} \right) \left( a - \frac{1}{u} + 2 \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( 1 - \frac{1}{u^2} \right) \left( u - \frac{1}{u} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^3} \right) \end{aligned} $$

次に $V_3$ を計算する。

$$ \begin{aligned} V_3 &= \frac{1}{3} \pi y_C^2 ( 2 - x_C ) \\ &= \frac{1}{3} \pi \left( 1 - \frac{1}{v^2} \right) \left( 2 - a - \frac{1}{v} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( 1 - \frac{1}{v^2} \right) \left( v - \frac{1}{v} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( v - \frac{2}{v} + \frac{1}{v^3} \right) \end{aligned} $$

続いて $V_2$ を計算する。$t = x - a$ と置換すると $dt = dx$ であり、積分区間は $x_D - a = -\frac{1}{u}$ から $x_C - a = \frac{1}{v}$ となる。

$$ \begin{aligned} V_2 &= \int_{x_D}^{x_C} \pi \{ 1 - (x-a)^2 \} dx \\ &= \pi \int_{-\frac{1}{u}}^{\frac{1}{v}} (1 - t^2) dt \\ &= \pi \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{-\frac{1}{u}}^{\frac{1}{v}} \\ &= \pi \left\{ \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{3v^3} \right) - \left( -\frac{1}{u} + \frac{1}{3u^3} \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} - \frac{1}{3v^3} - \frac{1}{3u^3} \right) \end{aligned} $$

これらを足し合わせて体積 $V$ を求める。$u$ を含む項と $v$ を含む項に分けて整理する。

$$ \begin{aligned} V &= V_1 + V_2 + V_3 \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^3} \right) + \pi \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{3u^3} \right) \\ &\quad + \frac{\pi}{3} \left( v - \frac{2}{v} + \frac{1}{v^3} \right) + \pi \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{3v^3} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u - \frac{2}{u} + \frac{1}{u^3} + \frac{3}{u} - \frac{1}{u^3} \right) + \frac{\pi}{3} \left( v - \frac{2}{v} + \frac{1}{v^3} + \frac{3}{v} - \frac{1}{v^3} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u + \frac{1}{u} \right) + \frac{\pi}{3} \left( v + \frac{1}{v} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u + v + \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right) \end{aligned} $$

ここで、$u = a+2, v = 2-a$ に戻して代入する。

$$ u + v = (a+2) + (2-a) = 4 $$

$$ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv} = \frac{4}{(a+2)(2-a)} = \frac{4}{4-a^2} $$

したがって、求める体積は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} V &= \frac{\pi}{3} \left( 4 + \frac{4}{4-a^2} \right) \\ &= \frac{4\pi}{3} \left( 1 + \frac{1}{4-a^2} \right) \\ &= \frac{4\pi(5-a^2)}{3(4-a^2)} \end{aligned} $$

解法2

図形全体を、円の中心 $P(a, 0)$ を頂点とする図形に分割して考える。 求める図形は、直角三角形 $PBD$、直角三角形 $PAC$、および扇形 $PCD$ を繋ぎ合わせた図形と同じ面積・形状であり、これらを $x$ 軸周りに回転させた立体は互いに内部を共有しないため、体積は各図形の回転体の体積の和となる。

中心 $P$ が原点となるように平行移動して考える。このとき、$B(-a-2, 0)$、$A(2-a, 0)$ であり、解法1と同様に $u = a+2, v = 2-a$ とおくと、各点の $x$ 座標（$P$ を基準とした相対座標）は、$B(-u, 0)$、$D(-\frac{1}{u}, y_D)$、$C(\frac{1}{v}, y_C)$、$A(v, 0)$ となる。

(i) $\triangle PBD$ の回転体 底辺を $PB$ ($x$ 軸上)、高さを $y_D$ とする三角形の回転体であるため、底面の半径が $y_D$、高さの合計が $PB$ となる2つの円錐を合わせた立体とみなせる。

$$ V_{PBD} = \frac{1}{3} \pi y_D^2 \times PB = \frac{1}{3} \pi \left( 1 - \frac{1}{u^2} \right) u = \frac{\pi}{3} \left( u - \frac{1}{u} \right) $$

(ii) $\triangle PAC$ の回転体 同様に、底辺を $PA$、高さを $y_C$ とする三角形の回転体である。

$$ V_{PAC} = \frac{1}{3} \pi y_C^2 \times PA = \frac{1}{3} \pi \left( 1 - \frac{1}{v^2} \right) v = \frac{\pi}{3} \left( v - \frac{1}{v} \right) $$

(iii) 扇形 $PCD$ の回転体 半径 $r=1$ の円における扇形を回転させてできる立体（球分）の体積を計算する。この体積 $V_{\text{扇形}}$ は、円弧を回転させた立体から、2つの直角三角形の回転体（円錐）を引いたものとして次のように導出できる。

$$ \begin{aligned} V_{\text{扇形}} &= \int_{-\frac{1}{u}}^{\frac{1}{v}} \pi (1 - x^2) dx - \frac{1}{3}\pi y_C^2 \frac{1}{v} - \frac{1}{3}\pi y_D^2 \left(-\frac{1}{u} \right) \\ &= \pi \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{1}{u}}^{\frac{1}{v}} - \frac{\pi}{3} \left(1 - \frac{1}{v^2}\right) \frac{1}{v} + \frac{\pi}{3} \left(1 - \frac{1}{u^2}\right) \left(-\frac{1}{u}\right) \\ &= \pi \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right) - \frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{v^3} + \frac{1}{u^3} \right) - \frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v^3} \right) - \frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u^3} \right) \\ &= \pi \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right) - \frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right) \\ &= \frac{2}{3}\pi \left( \frac{1}{v} + \frac{1}{u} \right) \end{aligned} $$

(iv) 全体の体積 これら3つの体積を足し合わせる。

$$ \begin{aligned} V &= V_{PBD} + V_{PAC} + V_{\text{扇形}} \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u - \frac{1}{u} \right) + \frac{\pi}{3} \left( v - \frac{1}{v} \right) + \frac{2\pi}{3} \left( \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right) \\ &= \frac{\pi}{3} \left( u + v + \frac{1}{u} + \frac{1}{v} \right) \end{aligned} $$

以降は解法1と同様の代入を行い、結果を得る。

$$ V = \frac{4\pi(5-a^2)}{3(4-a^2)} $$

解説

回転体の体積計算において、積分区間が複数に分かれる典型的な難問である。愚直に $x$ で積分しようとすると項が複雑になり計算ミスを誘発しやすい。

この問題の要諦は 「定数の塊を文字で置換して対称性を引き出すこと」 である。接点の座標に現れる $a+2$ や $2-a$ は、それぞれ円の中心 $P$ から点 $B, A$ までの距離を意味している。これらを $u, v$ と置くことで、見かけ上複雑な式が劇的に簡約化される。

解法2で示したように、円弧を含む図形の回転体は、円の中心を頂点とする扇形と三角形に分割することで、球の一部（球分）の公式 $V = \frac{2}{3}\pi r^2 h$ に帰着させることができる。この性質を知っておくと、積分計算の負担を大幅に減らすことができる強力な武器となる。

答え

$$ \frac{4\pi(5-a^2)}{3(4-a^2)} $$