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東京工業大学 1976年理系第6問解説

方針・初手

行列を成分で表し、与えられた2つの条件から成分間の関係式を導く。条件（i）は $l$ 上の点が不動であること、条件（ii）は移動前後の点を結ぶベクトルが $l$ と平行であることを用いて立式する。

解法1

(1)

変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とおく。

直線 $l: y=mx$ の方向ベクトルの1つは $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ である。

条件（i）より、$l$ 上の任意の点 $(t, mt)$ は $f$ によって動かないので、任意の $t$ について次が成り立つ。

$$ A \begin{pmatrix} t \\ mt \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ mt \end{pmatrix} $$

$t=1$ として、次を得る。

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} a+bm \\ c+dm \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} $$

これにより、以下の2式を得る。

$$ a+bm = 1 \iff a-1 = -bm $$

$$ c+dm = m $$

また、条件（ii）より、点 $P(1, 0)$ の $f$ による像を $P'$ とすると、

$$ \vec{OP'} = A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} $$

$P'$ は $P$ を通り $l$ に平行な直線上にあるため、ベクトル $\vec{PP'}$ は $\vec{u}$ と平行である。

$$ \vec{PP'} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-1 \\ c \end{pmatrix} $$

これが $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ に平行であるから、

$$ 1 \cdot c - m \cdot (a-1) = 0 $$

$$ c = m(a-1) $$

ここで $a-1 = -bm$ を代入して、

$$ c = m(-bm) = -bm^2 $$

さらに $c+dm=m$ に代入して、

$$ -bm^2 + dm = m $$

$$ dm = m(1+bm) $$

$m \neq 0$ より両辺を $m$ で割ると、

$$ d = 1+bm $$

以上から、$A$ は次のように表される。

$$ A = \begin{pmatrix} 1-bm & b \\ -bm^2 & 1+bm \end{pmatrix} $$

求める値 $ad-bc$ は行列 $A$ の行列式であるから、これを計算する。

$$ ad-bc = (1-bm)(1+bm) - b(-bm^2) $$

$$ = 1 - b^2m^2 + b^2m^2 $$

$$ = 1 $$

(2)

平面上の任意の点 $Q(x, y)$ の像を $Q'(x', y')$ とし、$E$ を単位行列とする。

$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

ベクトル $\vec{QQ'}$ を計算する。

$$ \vec{QQ'} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ = (A - E) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

（1）で得られた関係式より、$a-1 = -bm$、$c = -bm^2$、$d-1 = bm$ であるから、これを代入する。

$$ \vec{QQ'} = \begin{pmatrix} -bm & b \\ -bm^2 & bm \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} -bmx+by \\ -bm^2x+bmy \end{pmatrix} $$

$$ = b(-mx+y) \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} $$

ここで $b(-mx+y)$ は実数であるから、$\vec{QQ'}$ は直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$ に平行である。（または零ベクトルとなり $Q$ と $Q'$ が一致する）

したがって、$f$ により平面上の任意の点 $Q$ は、$Q$ を通り $l$ に平行な直線上の点にうつることが示された。

解説

本問の1次変換 $f$ は「剪断変換（ずり変換）」と呼ばれるものである。剪断変換は、ある定直線上の点を不動に保ち、その他の点をその直線からの距離に比例して直線と平行な方向に移動させる変換である。

図形をひしゃげさせるような変形であり、面積を変えない性質を持つため、その行列式は常に $1$ となる（1）の結果。また、任意の点が不動な直線と平行な方向へ移動するというのがまさに剪断変換の定義的性質であり、それが（2）で一般的に証明されている。代数的な処理だけで簡潔に完答できるため、方向ベクトルを活用して計算ミスを防ぐことが重要である。