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東京工業大学 2015年理系第3問解説

方針・初手

(1) は、$y$ 軸まわりの回転体の体積を求める。$y$ 軸に垂直な平面で切断して円板として積分するか、円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いて計算する。

(2) は、空間座標を設定し、回転体 $A$ の表す領域を連立不等式で表現する。そのうえで平面 $x=t$ における切り口の領域を考え、面積 $S(t)$ を定積分で表す。被積分関数が正であることに注目し、積分区間を拡大して不等式を評価する。

(3) は、(2) で得られた不等式の両辺を $t$ について積分する。左辺が $A$ の体積 $V$ と一致すること、右辺が積分変数を分離して積分の積にできることを利用する。

解法1

(1)

曲線 $y = e^{-x^2}$ ($0 \leqq x \leqq a$) を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体 $A$ の体積 $V$ を求める。$y$ 軸に垂直な平面 $y = k$ ($0 \leqq k \leqq 1$) での切り口を考える。 $x = a$ のとき $y = e^{-a^2}$ である。

(i)

$0 \leqq k \leqq e^{-a^2}$ のとき

切り口は半径 $a$ の円である。

(ii)

$e^{-a^2} \leqq k \leqq 1$ のとき

$y = e^{-x^2}$ より $-x^2 = \log y$ であり、$x \geqq 0$ であるから $x = \sqrt{-\log y}$ となる。したがって、切り口は半径 $\sqrt{-\log k}$ の円である。

よって、体積 $V$ は以下のようになる。

$$ V = \int_{0}^{e^{-a^2}} \pi a^2 dy + \int_{e^{-a^2}}^{1} \pi (\sqrt{-\log y})^2 dy $$

$$ V = \pi a^2 [y]_{0}^{e^{-a^2}} - \pi \int_{e^{-a^2}}^{1} \log y dy $$

ここで $\int \log y dy = y \log y - y + C$ ($C$ は積分定数) であるから、

$$ V = \pi a^2 e^{-a^2} - \pi [y \log y - y]_{e^{-a^2}}^{1} $$

$$ V = \pi a^2 e^{-a^2} - \pi \left\{ (1 \cdot 0 - 1) - (e^{-a^2} \log e^{-a^2} - e^{-a^2}) \right\} $$

$$ V = \pi a^2 e^{-a^2} - \pi \left\{ -1 - e^{-a^2}(-a^2) + e^{-a^2} \right\} $$

$$ V = \pi a^2 e^{-a^2} + \pi - \pi a^2 e^{-a^2} - \pi e^{-a^2} $$

$$ V = \pi(1 - e^{-a^2}) $$

(2)

座標空間において、回転体 $A$ を表す領域を考える。 $xy$ 平面上の領域 $0 \leqq x \leqq a$ かつ $0 \leqq y \leqq e^{-x^2}$ を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体であるから、点 $(x, y, z)$ が $A$ に含まれる条件は、点と $y$ 軸との距離 $\sqrt{x^2+z^2}$ を用いて、

$$ \sqrt{x^2+z^2} \leqq a \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq y \leqq e^{-(\sqrt{x^2+z^2})^2} $$

すなわち、

$$ x^2+z^2 \leqq a^2 \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq y \leqq e^{-(x^2+z^2)} $$

となる。この立体 $A$ を平面 $x=t$ ($-a \leqq t \leqq a$) で切った切り口は、上の条件式に $x=t$ を代入して得られる領域である。

$$ t^2+z^2 \leqq a^2 \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq y \leqq e^{-(t^2+z^2)} $$

整理すると、

$$ -\sqrt{a^2-t^2} \leqq z \leqq \sqrt{a^2-t^2} \quad \text{かつ} \quad 0 \leqq y \leqq e^{-(t^2+z^2)} $$

この切り口の面積 $S(t)$ は、$z$ 軸方向に積分して次のように表される。

$$ S(t) = \int_{-\sqrt{a^2-t^2}}^{\sqrt{a^2-t^2}} e^{-(t^2+z^2)} dz $$

積分変数を $z$ から $s$ に書き換えると、

$$ S(t) = \int_{-\sqrt{a^2-t^2}}^{\sqrt{a^2-t^2}} e^{-(t^2+s^2)} ds $$

ここで、被積分関数 $e^{-(t^2+s^2)} > 0$ である。また、$-a \leqq t \leqq a$ のとき $\sqrt{a^2-t^2} \leqq \sqrt{a^2} = a$ であるから、積分区間 $[-\sqrt{a^2-t^2}, \sqrt{a^2-t^2}]$ は区間 $[-a, a]$ に含まれる。したがって、積分区間を $[-a, a]$ に広げると定積分の値は大きくなる（または一致する）から、

$$ S(t) \leqq \int_{-a}^{a} e^{-(t^2+s^2)} ds = \int_{-a}^{a} e^{-(s^2+t^2)} ds $$

が成り立つ。

(3)

(2) で示した不等式の両辺を、$t$ について $-a$ から $a$ まで積分する。

$$ \int_{-a}^{a} S(t) dt \leqq \int_{-a}^{a} \left( \int_{-a}^{a} e^{-(s^2+t^2)} ds \right) dt $$

左辺は、立体 $A$ を $x$ 軸に垂直な平面で切った切り口の面積を積分したものであるから、$A$ の体積 $V$ に等しい。

$$ \int_{-a}^{a} S(t) dt = V = \pi(1 - e^{-a^2}) $$

一方、右辺は指数法則 $e^{-(s^2+t^2)} = e^{-s^2} e^{-t^2}$ より、

$$ \int_{-a}^{a} \left( \int_{-a}^{a} e^{-s^2} e^{-t^2} ds \right) dt = \int_{-a}^{a} \left( e^{-t^2} \int_{-a}^{a} e^{-s^2} ds \right) dt $$

ここで、$\int_{-a}^{a} e^{-s^2} ds$ は $t$ に無関係な定数であるから、積分記号の前に出すことができ、

$$ \int_{-a}^{a} \left( e^{-t^2} \int_{-a}^{a} e^{-s^2} ds \right) dt = \left( \int_{-a}^{a} e^{-s^2} ds \right) \left( \int_{-a}^{a} e^{-t^2} dt \right) $$

定積分の値は積分変数によらないので、$\int_{-a}^{a} e^{-s^2} ds = \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx$, $\int_{-a}^{a} e^{-t^2} dt = \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx$ と書き換えることができる。よって、右辺は

$$ \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \right)^2 $$

となる。したがって、次の不等式が得られる。

$$ \pi(1 - e^{-a^2}) \leqq \left( \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx \right)^2 $$

$e^{-x^2} > 0$ であるから、$\int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx > 0$ である。両辺の正の平方根をとると、

$$ \sqrt{\pi(1 - e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx $$

が成り立つ。

解法2

(1) の別解（円筒分割法）

$y$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ は、円筒分割法（バウムクーヘン積分）を用いて求めることもできる。 $x$ から $x+dx$ までの微小な区間を $y$ 軸まわりに回転させてできる円筒の体積は $2\pi x \cdot y \, dx$ と近似できるから、

$$ V = \int_{0}^{a} 2\pi x \cdot e^{-x^2} dx $$

$-x^2 = u$ と置換すると、$-2x dx = du$ であり、$x$ が $0$ から $a$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $-a^2$ まで変化する。

$$ V = \int_{0}^{-a^2} -\pi e^u du $$

$$ V = -\pi [e^u]_{0}^{-a^2} $$

$$ V = -\pi (e^{-a^2} - 1) $$

$$ V = \pi (1 - e^{-a^2}) $$

解説

本問は、回転体の体積と二重積分を背景とした不等式の証明問題であり、大学数学で学ぶ「ガウス積分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$」の導出を高校数学の範囲に落とし込んだ有名なテーマである。

(1) では体積計算を行う。$y$ 軸に垂直な平面でスライスする方針が標準的だが、解法2で示したバウムクーヘン積分を用いると計算量が大幅に減る。

(2) は空間座標における立体の領域を不等式で立式できるかが鍵となる。点と $y$ 軸の距離が $\sqrt{x^2+z^2}$ であることを利用して条件式を作り、そこに $x=t$ を代入することで切り口の領域を得る。被積分関数が正であることから、積分区間を広げると値が大きくなるという定積分の性質を用いる。

(3) は (2) で得られた不等式をさらに $t$ について積分する。(1) で求めた体積 $V$ を左辺に持ち込み、右辺では指数法則を用いて被積分関数を分離し、積分の積の形に変形する流れは誘導に乗れば自然に導ける。