東京工業大学 1996年 理系 第3問 解説

方針・初手

$3$ 次以上の多項式関数において、$x$ 軸と曲線で囲まれる $2$ つの部分の面積が等しいという条件は、交点の $x$ 座標を両端とする定積分の和が $0$ になる、すなわち両端を通しで定積分した値が $0$ になることと同値である。まずはこの条件から $\alpha$ と $\beta$ の関係式を導く。その後、$x=1$ で極値 $1$ をとる条件（$f'(1)=0$ かつ $f(1)=1$）を適用して残りの未定係数を決定し、最後に $x=1$ で導関数の符号が変化すること（十分性）を確認する。

解法1

(1)

$0 < \alpha < \beta$ のとき、$f(x) = 0$ の解は $x=0, \alpha, \beta$ であり、これらが $x$ 軸と曲線の交点の $x$ 座標となる。

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分は $0 \le x \le \alpha$ と $\alpha \le x \le \beta$ の $2$ つの区間にできる。これら $2$ つの部分の面積が等しいとき、この区間で $f(x)$ の符号が反転することを考慮すると、次の等式が成り立つ。

$$ \int_{0}^{\alpha} f(x) dx + \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = 0 $$

すなわち、次が成り立つ。

$$ \int_{0}^{\beta} f(x) dx = 0 $$

$f(x)$ を展開すると次のようになる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= p x^7 (x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) \\ &= p(x^9 - (\alpha+\beta)x^8 + \alpha\beta x^7) \end{aligned} $$

これを定積分する。

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{\beta} f(x) dx &= p \left[ \frac{1}{10}x^{10} - \frac{\alpha+\beta}{9}x^9 + \frac{\alpha\beta}{8}x^8 \right]_{0}^{\beta} \\ &= p \beta^8 \left( \frac{\beta^2}{10} - \frac{\alpha+\beta}{9}\beta + \frac{\alpha\beta}{8} \right) \end{aligned} $$

これが $0$ になる。$p \neq 0$ であり、$0 < \alpha < \beta$ より $\beta \neq 0$ であるから、かっこの中身が $0$ となる。

$$ \frac{\beta^2}{10} - \frac{\alpha\beta+\beta^2}{9} + \frac{\alpha\beta}{8} = 0 $$

両辺に $360$ を掛けて整理する。

$$ \begin{aligned} 36\beta^2 - 40(\alpha\beta+\beta^2) + 45\alpha\beta &= 0 \\ -4\beta^2 + 5\alpha\beta &= 0 \\ \beta(5\alpha - 4\beta) &= 0 \end{aligned} $$

$\beta > 0$ より $\beta = \frac{5}{4}\alpha$ を得る。これを $f(x)$ に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= p \left( x^9 - \frac{9}{4}\alpha x^8 + \frac{5}{4}\alpha^2 x^7 \right) \\ f'(x) &= p \left( 9x^8 - 18\alpha x^7 + \frac{35}{4}\alpha^2 x^6 \right) \\ &= \frac{p}{4} x^6 (36x^2 - 72\alpha x + 35\alpha^2) \\ &= \frac{p}{4} x^6 (6x - 5\alpha)(6x - 7\alpha) \end{aligned} $$

$x=1$ で極値をとるため、$f'(1)=0$ が必要である。これより $6 - 5\alpha = 0$ または $6 - 7\alpha = 0$ となる。

(i)

$6 - 5\alpha = 0$ のとき

$\alpha = \frac{6}{5}$ であり、$\beta = \frac{3}{2}$ となる。極値の条件 $f(1) = 1$ を用いると、次の方程式を得る。

$$ p \left( 1 - \frac{9}{4} \cdot \frac{6}{5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{36}{25} \right) = 1 $$

かっこの中を計算すると $\frac{1}{10}$ となるため、$\frac{p}{10} = 1$ より $p = 10$ となる。

このとき $f'(x) = 90 x^6 (x - 1)\left(x - \frac{7}{5}\right)$ となり、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負へ変化するため、確かに極値（極大値）$1$ をとる。

(ii)

$6 - 7\alpha = 0$ のとき

$\alpha = \frac{6}{7}$ であり、$\beta = \frac{15}{14}$ となる。極値の条件 $f(1) = 1$ を用いると、次の方程式を得る。

$$ p \left( 1 - \frac{9}{4} \cdot \frac{6}{7} + \frac{5}{4} \cdot \frac{36}{49} \right) = 1 $$

かっこの中を計算すると $-\frac{1}{98}$ となるため、$-\frac{p}{98} = 1$ より $p = -98$ となる。

このとき $f'(x) = -147 x^6 \left(x - \frac{5}{7}\right)(x - 1)$ となり、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負へ変化するため、確かに極値（極大値）$1$ をとる。

(2)

$\alpha < 0 < \beta$ のとき、$f(x) = 0$ の解は $x=\alpha, 0, \beta$ となり、囲まれる部分は $\alpha \le x \le 0$ と $0 \le x \le \beta$ の $2$ つの区間にできる。同様に面積が等しい条件は次のようになる。

$$ \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = 0 $$

定積分の計算を行う。

$$ \left[ p \left( \frac{1}{10}x^{10} - \frac{\alpha+\beta}{9}x^9 + \frac{\alpha\beta}{8}x^8 \right) \right]_{\alpha}^{\beta} = 0 $$

$p \neq 0$ より、次が成り立つ。

$$ \beta^8 \left( \frac{\beta^2}{10} - \frac{\alpha\beta+\beta^2}{9} + \frac{\alpha\beta}{8} \right) - \alpha^8 \left( \frac{\alpha^2}{10} - \frac{\alpha\beta+\alpha^2}{9} + \frac{\alpha\beta}{8} \right) = 0 $$

かっこの中を整理すると次のようになる。

$$ \beta^9 \left( -\frac{\beta}{90} + \frac{\alpha}{72} \right) - \alpha^9 \left( -\frac{\alpha}{90} + \frac{\beta}{72} \right) = 0 $$

両辺に $360$ を掛ける。

$$ \beta^9 (5\alpha - 4\beta) - \alpha^9 (5\beta - 4\alpha) = 0 $$

ここで $t = \frac{\beta}{\alpha}$ とおくと、$\alpha < 0 < \beta$ より $t < 0$ である。両辺を $\alpha^{10}$ で割って整理する。

$$ \begin{aligned} t^9 (5 - 4t) - (5t - 4) &= 0 \\ -4t^{10} + 5t^9 - 5t + 4 &= 0 \end{aligned} $$

この方程式を因数分解する。

$$ \begin{aligned} -4(t^{10} - 1) + 5t(t^8 - 1) &= 0 \\ (t^2 - 1) \{ -4(t^8 + t^6 + t^4 + t^2 + 1) + 5t(t^6 + t^4 + t^2 + 1) \} &= 0 \\ (t + 1)(t - 1) \{ -4t^8 + (5t - 4)(t^6 + t^4 + t^2 + 1) \} &= 0 \end{aligned} $$

$t < 0$ のとき $t - 1 \neq 0$ である。また、中括弧 $\{ \}$ の中身について、$-4t^8 < 0$、$5t - 4 < 0$、$t^6 + t^4 + t^2 + 1 > 0$ であるため、中括弧の全体は常に負となり $0$ になることはない。

したがって $t + 1 = 0$ すなわち $t = -1$ のみが解となる。ゆえに $\beta = -\alpha$ である。

このとき $f(x) = px^7(x^2 - \beta^2) = p(x^9 - \beta^2 x^7)$ となり、導関数は次のようになる。

$$ f'(x) = p(9x^8 - 7\beta^2 x^6) $$

$x=1$ で極値をとるため $f'(1) = 0$ となり、$p(9 - 7\beta^2) = 0$ から $\beta^2 = \frac{9}{7}$ を得る。極値が $1$ である条件 $f(1) = 1$ を用いる。

$$ p \left( 1 - \frac{9}{7} \right) = 1 $$

これより $-\frac{2}{7}p = 1$ となり、$p = -\frac{7}{2}$ を得る。

このとき $f'(x) = -\frac{7}{2} x^6 (9x^2 - 9) = -\frac{63}{2} x^6 (x-1)(x+1)$ となり、$x=1$ の前後で $f'(x)$ の符号は正から負へ変化するため、極大値 $1$ をとる条件を満たす。

解説

面積が等しいという図形的な条件を、「区間を通しで定積分した値が $0$ になる」という数式の条件に読み替えられるかが最大のポイントである。(1) は文字式の処理と極値の確認を丁寧に行えば答えに辿り着ける。(2) では高次方程式が登場するが、因数定理を用いて $t+1$ などのくくり出しを見つけ、残りの因数が $t<0$ において $0$ にならないことを論証する手法が鍵となる。また、必要条件から求めた $f(x)$ が本当に $x=1$ で極値（十分性）をもつかの確認を忘れないようにしたい。

答え

(1)

$f(x) = 10x^7 \left(x - \frac{6}{5}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right)$ または $f(x) = -98x^7 \left(x - \frac{6}{7}\right)\left(x - \frac{15}{14}\right)$

(2)

$f(x) = -\frac{7}{2}x^7 \left(x^2 - \frac{9}{7}\right)$ （または $f(x) = -\frac{7}{2}x^9 + \frac{9}{2}x^7$）