東京大学 1982年 文系 第3問 解説

方針・初手

$x$ の4次方程式 $x^4 + ax^2 + b = 0$ は偶数次のみの項からなるため、解は必ず $\pm \alpha, \pm \beta$ のように符号が異なるペアで現れることに着目する。与えられた近似値と誤差の条件から真の解が存在しうる範囲を絞り込み、係数 $a, b$ が整数であるという条件を利用して未知の係数を決定する。

解法1

与えられた方程式 $x^4 + ax^2 + b = 0$ において、$x$ が解ならば $-x$ も解である。したがって、真の解は正の実数 $x_1, x_2 \ (x_1 > x_2 > 0)$ を用いて $\pm x_1, \pm x_2$ と表すことができる。

4つの近似値 $-3.45, -0.61, 0.54, 3.42$ について、近似値の誤差の絶対値が $0.05$ 以下であることから、真の解の存在範囲を評価する。

絶対値の大きい解のペア $\pm x_1$ に対応する近似値は $3.42$ と $-3.45$ である。誤差の条件より、以下の不等式が成り立つ。

$$ 3.42 - 0.05 \leqq x_1 \leqq 3.42 + 0.05 $$

$$ -3.45 - 0.05 \leqq -x_1 \leqq -3.45 + 0.05 $$

これらを整理すると、

$$ 3.37 \leqq x_1 \leqq 3.47 $$

$$ 3.40 \leqq x_1 \leqq 3.50 $$

この2つの不等式を同時に満たす範囲は、

$$ 3.40 \leqq x_1 \leqq 3.47 $$

各辺は正であるため、2乗しても大小関係は保たれる。

$$ 11.56 \leqq x_1^2 \leqq 12.0409 $$

同様に、絶対値の小さい解のペア $\pm x_2$ に対応する近似値は $0.54$ と $-0.61$ である。誤差の条件より、

$$ 0.54 - 0.05 \leqq x_2 \leqq 0.54 + 0.05 $$

$$ -0.61 - 0.05 \leqq -x_2 \leqq -0.61 + 0.05 $$

これらを整理すると、

$$ 0.49 \leqq x_2 \leqq 0.59 $$

$$ 0.56 \leqq x_2 \leqq 0.66 $$

この2つの不等式を同時に満たす範囲は、

$$ 0.56 \leqq x_2 \leqq 0.59 $$

各辺を2乗すると、

$$ 0.3136 \leqq x_2^2 \leqq 0.3481 $$

方程式 $x^4 + ax^2 + b = 0$ は $t = x^2$ とおくと $t^2 + at + b = 0$ となり、その解が $x_1^2, x_2^2$ である。解と係数の関係より、

$$ -a = x_1^2 + x_2^2 $$

$$ b = x_1^2 x_2^2 $$

ここで、$-a$ と $b$ の取り得る値の範囲を計算する。

$$ 11.56 + 0.3136 \leqq x_1^2 + x_2^2 \leqq 12.0409 + 0.3481 $$

$$ 11.8736 \leqq -a \leqq 12.389 $$

$a$ は整数であるから、$-a$ も整数となる。この範囲に含まれる整数は $12$ のみであるから、

$$ -a = 12 \iff a = -12 $$

次に、$b$ の範囲を考える。

$$ 11.56 \times 0.3136 \leqq x_1^2 x_2^2 \leqq 12.0409 \times 0.3481 $$

ここで、両辺を計算すると、

$$ 11.56 \times 0.3136 = 3.625216 $$

$$ 12.0409 \times 0.3481 = 4.19143729 $$

したがって、

$$ 3.625216 \leqq b \leqq 4.19143729 $$

$b$ は整数であるから、この範囲に含まれる整数は $4$ のみであり、$b = 4$ が確定する。

以上より、方程式は $x^4 - 12x^2 + 4 = 0$ となる。これを $x^2$ について解くと、

$$ x^2 = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2} $$

二重根号を外す処理を行う。

$$ x^2 = 6 \pm 2\sqrt{8} = (4 + 2) \pm 2\sqrt{4 \times 2} = (2 \pm \sqrt{2})^2 $$

したがって、真の解は以下のようになる。

$$ x = \pm(2 \pm \sqrt{2}) $$

$\sqrt{2} = 1.4142\dots$ を用いて各解の小数を計算する。

$$ 2 + \sqrt{2} = 3.4142\dots $$

$$ 2 - \sqrt{2} = 0.5857\dots $$

$$ -2 + \sqrt{2} = -0.5857\dots $$

$$ -2 - \sqrt{2} = -3.4142\dots $$

題意に従い、これらを小数第2位まで正しく求める（小数第3位を四捨五入する）と、それぞれ $3.41, 0.59, -0.59, -3.41$ となる。

解説

複二次式（$x$ の偶数乗のみを含む多項式）の解の対称性を利用する問題である。解の符号が反転しても方程式が成り立つ性質から、近似値を正と負のペアに分け、真の解の存在範囲をそれぞれ絞り込むのがポイントである。不等式評価を用いて係数の取り得る範囲を限定し、整数条件から値をただ1つに決定する論理は、入試数学における典型的な手法である。最後に得られた厳密解の二重根号を外し、一般的な四捨五入によって指定された桁数にまとめる。

答え

$3.41, 0.59, -0.59, -3.41$