トップ› 東京大学› 1987年› 理系第4問

東京大学 1987年理系第4問解説

方針・初手

点Pの $y$ 座標を変数でおき、点Pの座標を設定する。直線AP上の任意の点の座標を媒介変数を用いて表し、回転軸に垂直な平面 $x=k$ における切り口の円の半径を求める。その断面積を $k$ について $0$ から $1$ まで定積分し、体積 $V$ を計算する。最後に、得られた $V$ の式を平方完成して最小値を求める。

解法1

点Pの $y$ 座標を $t$ とおく。点Pは $yz$ 平面上の放物線 $z = 1 - y^2$ 上にあるため、Pの座標は $(0, t, 1-t^2)$ と表せる。

直線AP上の点の座標は、実数 $s$ を用いて $\vec{OQ} = (1-s)\vec{OP} + s\vec{OA}$ と表すことができる。点Aの座標は $(1, 0, 1)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \vec{OQ} &= (1-s)(0, t, 1-t^2) + s(1, 0, 1) \\ &= (s, (1-s)t, (1-s)(1-t^2) + s) \\ &= (s, (1-s)t, 1 - (1-s)t^2) \end{aligned} $$

となる。

直線APと平面 $x=k$ ($0 \leqq k \leqq 1$) の交点の座標は、$s=k$ のときであり、

$$ (k, (1-k)t, 1 - (1-k)t^2) $$

である。

直線APを $x$ 軸のまわりに回転させてできる曲面を平面 $x=k$ で切断したときの断面は、点 $(k, 0, 0)$ を中心とする円になる。この円の半径を $r(k)$ とすると、三平方の定理より

$$ \begin{aligned} \{ r(k) \}^2 &= \{ (1-k)t \}^2 + \{ 1 - (1-k)t^2 \}^2 \\ &= (1-k)^2 t^2 + 1 - 2(1-k)t^2 + (1-k)^2 t^4 \end{aligned} $$

となる。

したがって、求める体積 $V$ は、断面積 $\pi \{ r(k) \}^2$ を $k$ について $0$ から $1$ まで積分したものであるから、

$$ V = \int_{0}^{1} \pi \{ (1-k)^2 t^2 + 1 - 2(1-k)t^2 + (1-k)^2 t^4 \} dk $$

ここで、計算を簡略化するために $1-k = u$ と置換する。$dk = -du$ であり、積分区間は $k: 0 \to 1$ に対応して $u: 1 \to 0$ となる。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{1}^{0} \{ u^2 t^2 + 1 - 2u t^2 + u^2 t^4 \} (-du) \\ &= \pi \int_{0}^{1} \{ (t^4 + t^2)u^2 - 2t^2 u + 1 \} du \\ &= \pi \left[ \frac{t^4 + t^2}{3}u^3 - t^2 u^2 + u \right]_{0}^{1} \\ &= \pi \left( \frac{t^4 + t^2}{3} - t^2 + 1 \right) \\ &= \frac{\pi}{3} (t^4 - 2t^2 + 3) \end{aligned} $$

これが $V$ を P の $y$ 座標 $t$ で表した式である。

次に、$V$ の最小値を求める。得られた式を $t^2$ について平方完成すると、

$$ V = \frac{\pi}{3} \{ (t^2 - 1)^2 + 2 \} $$

$t$ はすべての実数値をとるため、$t^2 \geqq 0$ である。したがって、$V$ は $t^2 = 1$、すなわち $t = \pm 1$ のとき最小値をとる。その最小値は

$$ \frac{\pi}{3} \times 2 = \frac{2}{3}\pi $$

である。