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東京大学 1990年文系第2問解説

方針・初手

（1）については、$\alpha$ が満たす方程式 $\alpha^3+3\alpha^2-1=0$ を用いて次数を下げる。多項式の割り算を活用すると計算が見通しやすい。
（2）については、残りの2つの解を $\beta, \gamma$ とおき、解と係数の関係から $\beta, \gamma$ を解にもつ2次方程式を作成する。その解の公式の根号内に（1）の結果が現れることを利用する。

解法1

(1)

$\alpha$ は方程式 $x^3+3x^2-1=0$ の解であるから、

$$ \alpha^3+3\alpha^2-1=0 $$

が成り立つ。

多項式 $(2x^2+5x-1)^2$ を展開すると、

$$ 4x^4+20x^3+21x^2-10x+1 $$

これを $x^3+3x^2-1$ で割る割り算を実行する。

$$ \begin{aligned} 4x^4+20x^3+21x^2-10x+1 &= 4x(x^3+3x^2-1) + 8x^3+21x^2-6x+1 \\ &= 4x(x^3+3x^2-1) + 8(x^3+3x^2-1) - 3x^2-6x+9 \\ &= (4x+8)(x^3+3x^2-1) - 3x^2-6x+9 \end{aligned} $$

この恒等式に $x=\alpha$ を代入すると、$\alpha^3+3\alpha^2-1=0$ であるから、

$$ (2\alpha^2+5\alpha-1)^2 = -3\alpha^2-6\alpha+9 $$

となる。これは $a\alpha^2+b\alpha+c$ の形であり、$a=-3, b=-6, c=9$ はいずれも有理数であるため条件を満たす。

(2)

方程式 $x^3+3x^2-1=0$ の $\alpha$ 以外の2つの解を $\beta, \gamma$ とおく。

3次方程式の解と係数の関係より、

$$ \begin{aligned} \alpha+\beta+\gamma &= -3 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha &= 0 \\ \alpha\beta\gamma &= 1 \end{aligned} $$

が成り立つ。第1式から、

$$ \beta+\gamma = -\alpha-3 $$

これを第2式 $\alpha(\beta+\gamma)+\beta\gamma=0$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} \alpha(-\alpha-3)+\beta\gamma &= 0 \\ \beta\gamma &= \alpha^2+3\alpha \end{aligned} $$

したがって、$\beta, \gamma$ は $t$ についての2次方程式

$$ t^2 - (\beta+\gamma)t + \beta\gamma = 0 $$

すなわち、

$$ t^2 + (\alpha+3)t + \alpha^2+3\alpha = 0 $$

の2つの解である。解の公式を用いると、

$$ t = \frac{-(\alpha+3) \pm \sqrt{(\alpha+3)^2 - 4(\alpha^2+3\alpha)}}{2} $$

根号の中身を計算すると、

$$ \begin{aligned} (\alpha+3)^2 - 4(\alpha^2+3\alpha) &= \alpha^2+6\alpha+9 - 4\alpha^2-12\alpha \\ &= -3\alpha^2-6\alpha+9 \end{aligned} $$

ここで（1）の結果を用いると、$-3\alpha^2-6\alpha+9 = (2\alpha^2+5\alpha-1)^2$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{-3\alpha^2-6\alpha+9} &= \sqrt{(2\alpha^2+5\alpha-1)^2} \\ &= |2\alpha^2+5\alpha-1| \end{aligned} $$

$t$ の式には $\pm$ がついているため、絶対値記号はそのまま外してよく、

$$ t = \frac{-\alpha-3 \pm (2\alpha^2+5\alpha-1)}{2} $$

と表せる。

複号が $+$ のとき：

$$ t = \frac{-\alpha-3+2\alpha^2+5\alpha-1}{2} = \frac{2\alpha^2+4\alpha-4}{2} = \alpha^2+2\alpha-2 $$

複号が $-$ のとき：

$$ t = \frac{-\alpha-3-(2\alpha^2+5\alpha-1)}{2} = \frac{-2\alpha^2-6\alpha-2}{2} = -\alpha^2-3\alpha-1 $$

求める2つの解はこれらであり、いずれも $a\alpha^2+b\alpha+c$ （$a,b,c$ は有理数）の形で表されている。

解説

3次方程式のガロア群が巡回群となるケース（判別式が有理数の平方になる場合）を題材にした問題である。このような方程式では、1つの解を有理数係数の多項式に代入することで、他のすべての解を生成することができる。

（1）は多項式の割り算（剰余の定理）を用いて次数を下げる標準的な計算である。

（2）は、残りの2解を求めるために解と係数の関係を利用し、2次方程式に帰着させるのが定石である。ここで現れる判別式が（1）の結果そのものになっており、うまく根号が外れるように誘導が設計されている。$\beta\gamma$ の値を求める際に $\alpha\beta\gamma=1$ と $\alpha^3+3\alpha^2-1=0$ から導くことも可能である。