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東京大学 2019年理系第2問解説

方針・初手

正方形を座標平面上に設定し、各点の座標を変数でおくのが見通しの良い方針である。三角形の面積条件から変数の間に成り立つ関係式を導き、求める比を1変数の関数として表す。その後、定義域（変数のとりうる範囲）に注意しながら微分を用いて関数の最大値・最小値を調べる。

解法1

正方形 $\mathrm{ABCD}$ を座標平面上に配置し、頂点の座標を $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(1,0), \mathrm{C}(1,1), \mathrm{D}(0,1)$ とおく。点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ はそれぞれ辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AD}, \mathrm{CD}$ 上にあるので、座標を次のようにおくことができる。

$$ \mathrm{P}(p, 0), \quad \mathrm{Q}(0, q), \quad \mathrm{R}(r, 1) $$

ただし、各点は辺上にあるため、変数の範囲は $0 \leqq p \leqq 1, 0 \leqq q \leqq 1, 0 \leqq r \leqq 1$ である。

$\triangle \mathrm{APQ}$ の面積が $\frac{1}{3}$ であるから、

$$ \frac{1}{2}pq = \frac{1}{3} \iff pq = \frac{2}{3} $$

次に $\triangle \mathrm{PQR}$ の面積について考える。台形 $\mathrm{APRD}$ の面積から、$\triangle \mathrm{APQ}$ および $\triangle \mathrm{QDR}$ の面積を引くことで求められる。台形 $\mathrm{APRD}$ の面積は $\frac{1}{2}(p + r) \cdot 1 = \frac{p+r}{2}$ であり、$\triangle \mathrm{QDR}$ の面積は $\frac{1}{2}(1 - q)r$ であるから、

$$ \triangle \mathrm{PQR} = \frac{p+r}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}(1-q)r = \frac{p + qr}{2} - \frac{1}{3} $$

これが $\frac{1}{3}$ となるため、

$$ \frac{p + qr}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \iff p + qr = \frac{4}{3} $$

変数 $p$ を用いて、$q, r$ および求める値 $\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}}$ を表す。 $pq = \frac{2}{3}$ より $q = \frac{2}{3p}$。 $0 < q \leqq 1$ を満たす必要があるため、

$$ \frac{2}{3p} \leqq 1 \iff p \geqq \frac{2}{3} $$

もともと $p \leqq 1$ であるから、 $p$ の範囲は $\frac{2}{3} \leqq p \leqq 1$ となる。

また、$p + qr = \frac{4}{3}$ より、

$$ r = \frac{1}{q} \left( \frac{4}{3} - p \right) = \frac{3p}{2} \left( \frac{4}{3} - p \right) = 2p - \frac{3}{2}p^2 $$

ここで、$p \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]$ のときの $r$ の変域を確認しておく。 $f(p) = 2p - \frac{3}{2}p^2$ とおくと、$f'(p) = 2 - 3p$ である。 $p \geqq \frac{2}{3}$ において $f'(p) \leqq 0$ であり、$f(p)$ は単調減少する。 $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}, f(1) = \frac{1}{2}$ であるため、$\frac{1}{2} \leqq r \leqq \frac{2}{3}$ となり、$0 \leqq r \leqq 1$ の条件は常に満たされる。以上より、$p$ のとりうる値の範囲は $\frac{2}{3} \leqq p \leqq 1$ である。

求める値は $\frac{\mathrm{DR}}{\mathrm{AQ}} = \frac{r}{q}$ であるから、これを $p$ の関数 $g(p)$ とおく。

$$ g(p) = \frac{r}{q} = \frac{2p - \frac{3}{2}p^2}{\frac{2}{3p}} = \frac{3p}{2} \left( 2p - \frac{3}{2}p^2 \right) = 3p^2 - \frac{9}{4}p^3 $$

関数 $g(p)$ の $\frac{2}{3} \leqq p \leqq 1$ における増減を調べる。

$$ g'(p) = 6p - \frac{27}{4}p^2 = \frac{3}{4}p(8 - 9p) $$

$g'(p) = 0$ となるのは、$p = 0, \frac{8}{9}$ のときである。区間 $\frac{2}{3} \leqq p \leqq 1$ における $g(p)$ の増減表は以下のようになる。

$p$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$\frac{8}{9}$	$\cdots$	$1$
$g'(p)$		$+$	$0$	$-$
$g(p)$	$\frac{2}{3}$	$\nearrow$	$\frac{64}{81}$	$\searrow$	$\frac{3}{4}$

極値および端点の値はそれぞれ次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} g\left(\frac{2}{3}\right) &= 3\left(\frac{4}{9}\right) - \frac{9}{4}\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \\ g\left(\frac{8}{9}\right) &= 3\left(\frac{64}{81}\right) - \frac{9}{4}\left(\frac{512}{729}\right) = \frac{64}{27} - \frac{128}{81} = \frac{192 - 128}{81} = \frac{64}{81} \\ g(1) &= 3(1) - \frac{9}{4}(1) = \frac{3}{4} \end{aligned} $$

これらを比較すると

$$ \frac{2}{3}=\frac{8}{12}<\frac{3}{4}=\frac{9}{12}<\frac{64}{81} $$

であるから、最大値は $\frac{64}{81}$、最小値は $\frac{2}{3}$ となる。

解説

本問は、座標を設定して代数的な計算に帰着させる方針が有効である。 3点が辺上にあるという条件を座標 $(p, 0), (0, q), (r, 1)$ とおいて数式化し、与えられた2つの面積条件から関係式を導き出す。 $\triangle \mathrm{PQR}$ の面積を求める際、ベクトルを用いた面積公式を利用してもよいが、全体（台形）から不要な直角三角形を引く方法が最も計算ミスが少なく確実である。立式後は、変数が $0$ 以上 $1$ 以下であるという図形的な制約から生じる「隠れた定義域」に注意しながら、1変数の微分の問題として処理すればよい。