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東京大学 1979年理系第5問解説

方針・初手

条件 (A) と (B) から 3 次関数 $f(x)$ の係数を決定する。次に、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ の交点の $x$ 座標を求め、積分区間と上下関係を把握して面積 $S(t)$ を立式する。最後に $t \to \infty$ の極限を計算する。

解法1

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) とおく。

条件 (B) より、$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$、$f''(x) = 6ax + 2b$ であるから、 $f'(0) = c = 0$ $f''(0) = 2b = 2 \iff b = 1$

また、条件 (A) より $f(x)$ は原点 $O(0,0)$ を通るので、$f(0) = d = 0$ となる。

これらより、$f(x) = ax^3 + x^2$ と表せる。さらに、曲線 (1) は点 $P(-t, -t)$ を通るので、代入して

$$ -t = a(-t)^3 + (-t)^2 $$

$$ -at^3 = -t^2 - t $$

$t > 0$ であるから両辺を $-t^3 \neq 0$ で割って、

$$ a = \frac{t^2 + t}{t^3} = \frac{t+1}{t^2} $$

したがって、$f(x) = \frac{t+1}{t^2}x^3 + x^2$ と定まる。

次に、曲線 (1): $y = f(x)$ と直線 (2): $y = x$ の交点を求める。

$$ \frac{t+1}{t^2}x^3 + x^2 = x $$

$$ x \left( \frac{t+1}{t^2}x^2 + x - 1 \right) = 0 $$

$x = 0$ は交点 $O$ の $x$ 座標である。 $x \neq 0$ のとき、カッコ内の式について両辺に $t^2$ をかけて整理すると

$$ (t+1)x^2 + t^2x - t^2 = 0 $$

条件 (A) より $x = -t$ が交点の一つであることが分かっているため、この方程式の左辺は $x + t$ を因数にもつ。因数分解すると

$$ (x + t) \{ (t+1)x - t \} = 0 $$

よって、交点の $x$ 座標は $x = -t, 0, \frac{t}{t+1}$ となる。 $t > 0$ より $-t < 0 < \frac{t}{t+1}$ であるから、$x$ 座標が最大となる点 $Q$ の $x$ 座標は $\frac{t}{t+1}$ である。

区間 $0 \leqq x \leqq \frac{t}{t+1}$ における曲線 (1) と直線 (2) の上下関係を調べる。

$$ x - f(x) = - \frac{t+1}{t^2} x (x + t) \left( x - \frac{t}{t+1} \right) $$

$t > 0$ であり、$0 < x < \frac{t}{t+1}$ の範囲では $x > 0$、$x + t > 0$、$x - \frac{t}{t+1} < 0$ であるから、$x - f(x) > 0$、すなわち $f(x) < x$ となる。したがって、求める領域の面積 $S(t)$ は直線 $y = x$ が上側にくるため、次のように計算できる。

$$ S(t) = \int_{0}^{\frac{t}{t+1}} \{ x - f(x) \} dx $$

$$ = \int_{0}^{\frac{t}{t+1}} \left( - \frac{t+1}{t^2}x^3 - x^2 + x \right) dx $$

$$ = \left[ - \frac{t+1}{4t^2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{t}{t+1}} $$

$x = \frac{t}{t+1}$ を代入すると、

$$ S(t) = - \frac{t+1}{4t^2} \left( \frac{t}{t+1} \right)^4 - \frac{1}{3} \left( \frac{t}{t+1} \right)^3 + \frac{1}{2} \left( \frac{t}{t+1} \right)^2 $$

$$ = - \frac{t^2}{4(t+1)^3} - \frac{t^3}{3(t+1)^3} + \frac{t^2}{2(t+1)^2} $$

分母を $12(t+1)^3$ に揃えて通分する。

$$ S(t) = \frac{-3t^2 - 4t^3 + 6t^2(t+1)}{12(t+1)^3} $$

$$ = \frac{2t^3 + 3t^2}{12(t+1)^3} $$

最後に $t \to \infty$ の極限を求める。

$$ \lim_{t \to \infty} S(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{2t^3 + 3t^2}{12(t^3 + 3t^2 + 3t + 1)} $$

分母分子を $t^3$ で割ると、

$$ = \lim_{t \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{t}}{12\left(1 + \frac{3}{t} + \frac{3}{t^2} + \frac{1}{t^3}\right)} $$

$$ = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$

解説

与えられた条件から関数を決定し、交点と上下関係を調べて積分し、最後に極限をとるという標準的な微積分と極限の融合問題である。 3 次方程式を解く際、あらかじめ $x = 0$ と $x = -t$ が解であることが条件 (A) から分かっているため、因数定理を用いることでスムーズに因数分解できる。面積計算は積分の基本に忠実に展開して計算するのが確実である。