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北海道大学 1979年文系第3問解説

方針・初手

立体の体積を $x$ 軸方向の積分で直接求めようとすると、境界となる線分や曲線の式が複雑に切り替わるため、計算や場合分けが煩雑になります。そこで、点 $P, Q$ の位置を原点からの偏角を用いて極座標のように表し、求める立体を「$x$ 軸の正の部分から偏角 $\theta$ までの扇形」を回転させた立体の差として捉えるのが有効です。扇形の回転体は、「円弧部分の回転体（球欠）」と「線分部分の回転体（円錐）」の和または差として計算できます。

解法1

(1)

点 $P, Q$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の半円 $y = \sqrt{1-x^2}$ ($y \ge 0$) 上にある。 $x$ 軸の正の向きからの偏角をそれぞれ $\alpha, \beta$ とおくと、

$$ P(\cos\alpha, \sin\alpha), \quad Q(\cos\beta, \sin\beta) $$

と表せる。$p = \cos\alpha, q = \cos\beta$ であり、$p > q$ より $0 \le \alpha < \beta \le \pi$ である。

まず、半円上の点 $A(\cos\theta, \sin\theta)$ ($0 \le \theta \le \pi$) に対して、線分 $OA$、$x$ 軸の正の部分、および円弧で囲まれた扇形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $W(\theta)$ を求める。点 $A$ の $x$ 座標を $x_A = \cos\theta$ とおく。

(i) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき（$0 \le x_A \le 1$）

この立体は、$x_A \le x \le 1$ において半円弧と $x$ 軸で囲まれた部分の回転体（球欠）と、底面半径 $\sin\theta$、高さ $x_A$ の円錐の和である。球欠の体積 $V_1$ は、

$$ V_1 = \int_{x_A}^1 \pi (1-x^2) dx = \pi \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_A}^1 = \pi \left( \frac{2}{3} - x_A + \frac{x_A^3}{3} \right) $$

円錐の体積 $V_2$ は、

$$ V_2 = \frac{1}{3}\pi (\sin\theta)^2 x_A = \frac{1}{3}\pi (1-x_A^2)x_A = \pi \left( \frac{x_A}{3} - \frac{x_A^3}{3} \right) $$

よって、体積 $W(\theta)$ は、

$$ W(\theta) = V_1 + V_2 = \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{3}x_A \right) = \frac{2}{3}\pi (1 - \cos\theta) $$

(ii) $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$ のとき（$-1 \le x_A < 0$）

この立体は、$x_A \le x \le 1$ において半円弧と $x$ 軸で囲まれた部分の回転体（球欠）から、底面半径 $\sin\theta$、高さ $-x_A$ の円錐を除いた部分である。球欠の体積 $V_1$ は (i) と同じ式で表される。除く円錐の体積 $V_3$ は、

$$ V_3 = \frac{1}{3}\pi (\sin\theta)^2 (-x_A) = -\pi \left( \frac{x_A}{3} - \frac{x_A^3}{3} \right) $$

よって、体積 $W(\theta)$ は、

$$ W(\theta) = V_1 - V_3 = \pi \left( \frac{2}{3} - x_A + \frac{x_A^3}{3} \right) + \pi \left( \frac{x_A}{3} - \frac{x_A^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{3}x_A \right) = \frac{2}{3}\pi (1 - \cos\theta) $$

(i), (ii) のいずれの場合も $W(\theta) = \frac{2}{3}\pi (1 - \cos\theta)$ となる。求める体積 $V$ は、偏角 $0$ から $\beta$ までの扇形の回転体から、偏角 $0$ から $\alpha$ までの扇形の回転体を除いたものであるから、

$$ V = W(\beta) - W(\alpha) = \frac{2}{3}\pi (1 - \cos\beta) - \frac{2}{3}\pi (1 - \cos\alpha) = \frac{2}{3}\pi (\cos\alpha - \cos\beta) $$

ここで $\cos\alpha = p, \cos\beta = q$ より、

$$ V = \frac{2}{3}\pi (p - q) $$

(2)

$\angle POQ = \frac{\pi}{3}$ より $\beta - \alpha = \frac{\pi}{3}$、すなわち $\beta = \alpha + \frac{\pi}{3}$ である。 $0 \le \alpha < \beta \le \pi$ より $0 \le \alpha \le \frac{2}{3}\pi$ である。このとき、(1) の結果より

$$ V = \frac{2}{3}\pi \left\{ \cos\alpha - \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \right\} $$

加法定理より、

$$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$

よって、

$$ V = \frac{2}{3}\pi \left\{ \cos\alpha - \left( \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \right) \right\} $$

$$ V = \frac{2}{3}\pi \left( \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \right) $$

三角関数の合成を用いると、

$$ V = \frac{2}{3}\pi \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) $$

$\alpha$ のとりうる範囲は $0 \le \alpha \le \frac{2}{3}\pi$ であるから、

$$ \frac{\pi}{6} \le \alpha + \frac{\pi}{6} \le \frac{5}{6}\pi $$

したがって、$\alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $\alpha = \frac{\pi}{3}$ のとき、$V$ は最大値 $\frac{2}{3}\pi \times 1 = \frac{2}{3}\pi$ をとる。このとき、点 $P$ の座標は

$$ \left( \cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$

解法2

(1)

扇形 $OPQ$ を微小な扇形に分割して、回転体の体積を考える。極座標 $(r, \theta)$ において、半径 $1$、偏角 $\theta$ から $\theta + d\theta$ までの微小な扇形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる微小な体積 $dV$ を求める。この微小な扇形の面積は $dS = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot d\theta = \frac{1}{2} d\theta$ である。また、この扇形の重心は、原点から $\frac{2}{3}$ の距離にあり、その $y$ 座標は $\frac{2}{3}\sin\theta$ である。パップス・ギュルダンの定理より、この微小な扇形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる体積 $dV$ は、

$$ dV = 2\pi \left( \frac{2}{3}\sin\theta \right) dS = 2\pi \left( \frac{2}{3}\sin\theta \right) \left( \frac{1}{2} d\theta \right) = \frac{2}{3}\pi \sin\theta d\theta $$

点 $P, Q$ の偏角をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($0 \le \alpha < \beta \le \pi$) とすると、$p = \cos\alpha, q = \cos\beta$ である。求める体積 $V$ は、微小体積 $dV$ を $\theta = \alpha$ から $\theta = \beta$ まで積分したものであるから、

$$ V = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{2}{3}\pi \sin\theta d\theta = \frac{2}{3}\pi \left[ -\cos\theta \right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{2}{3}\pi (\cos\alpha - \cos\beta) $$

したがって、