北海道大学 2001年 文系 第2問 解説

方針・初手

(1) は絶対値記号の中身が $0$ になる $x = 1, 2, 3$ を境にして場合分けを行い、絶対値記号を外してグラフの式を求めます。

(2) は (1) の一般化であり、$x$ と数直線上の点 $1, 2, \dots, 2n+1$ との距離の総和の最小値を求める問題です。(1) のグラフの形状（傾きが負から正へ切り替わる点で最小値をとる）から類推し、区間ごとの傾きの変化を調べるか、絶対値の不等式（三角不等式）を利用して下限を評価する方針をとります。

解法1

(1)

$y = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$ について、絶対値の中の式の符号が変わる $x = 1, 2, 3$ を境界として場合分けを行います。

(i) $x < 1$ のとき

$x - 1 < 0$、$x - 2 < 0$、$x - 3 < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &= -(x - 1) - (x - 2) - (x - 3) \\ &= -3x + 6 \end{aligned} $$

(ii) $1 \leqq x < 2$ のとき

$x - 1 \geqq 0$、$x - 2 < 0$、$x - 3 < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &= (x - 1) - (x - 2) - (x - 3) \\ &= -x + 4 \end{aligned} $$

(iii) $2 \leqq x < 3$ のとき

$x - 1 \geqq 0$、$x - 2 \geqq 0$、$x - 3 < 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &= (x - 1) + (x - 2) - (x - 3) \\ &= x \end{aligned} $$

(iv) $x \geqq 3$ のとき

$x - 1 \geqq 0$、$x - 2 \geqq 0$、$x - 3 \geqq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} y &= (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) \\ &= 3x - 6 \end{aligned} $$

以上より、グラフは $x \leqq 1$ で直線 $y = -3x + 6$、$1 \leqq x \leqq 2$ で直線 $y = -x + 4$、$2 \leqq x \leqq 3$ で直線 $y = x$、$x \geqq 3$ で直線 $y = 3x - 6$ となる折れ線グラフです。頂点の座標は $(1, 3), (2, 2), (3, 3)$ となります。

(2)

$f(x) = \sum_{k=1}^{2n+1} |x - k|$ とおきます。

整数 $m$ ($1 \leqq m \leqq 2n$) に対して、区間 $m \leqq x < m+1$ における関数 $f(x)$ の傾きを考えます。 この区間においては、各 $k$ ($1 \leqq k \leqq 2n+1$) について、

• $1 \leqq k \leqq m$ のとき、$x - k > 0$ より $|x - k| = x - k$
• $m+1 \leqq k \leqq 2n+1$ のとき、$x - k < 0$ より $|x - k| = -(x - k)$

となります。したがって、この区間における $f(x)$ の式は以下のように表されます。

$$ f(x) = \sum_{k=1}^{m} (x - k) - \sum_{k=m+1}^{2n+1} (x - k) $$

よって、この区間における直線の傾きは、$x$ の係数に着目すると、

$$ m \times 1 + \{ (2n+1) - m \} \times (-1) = 2m - 2n - 1 $$

となります。この傾きの符号の変化を調べます。

$2m - 2n - 1 < 0$ となるのは $m < n + \frac{1}{2}$ のときであり、$m$ は整数なので $m \leqq n$ のときです。 $2m - 2n - 1 > 0$ となるのは $m > n + \frac{1}{2}$ のときであり、$m$ は整数なので $m \geqq n+1$ のときです。

したがって、$f(x)$ は $x \leqq n+1$ の範囲で単調に減少し、$x \geqq n+1$ の範囲で単調に増加する連続関数であることがわかります。 ゆえに、$f(x)$ は $x = n+1$ のとき最小値をとります。

その最小値は、$x = n+1$ を代入して、

$$ \begin{aligned} f(n+1) &= \sum_{k=1}^{2n+1} |n + 1 - k| \\ &= \sum_{k=1}^{n} |n + 1 - k| + |0| + \sum_{k=n+2}^{2n+1} |n + 1 - k| \end{aligned} $$

第1項において $l = n+1-k$ とおくと、$k$ が $1$ から $n$ まで変わるとき、$l$ は $n$ から $1$ まで変わります。 第3項において $l = k-n-1$ とおくと、$k$ が $n+2$ から $2n+1$ まで変わるとき、$l$ は $1$ から $n$ まで変わります。

$$ \begin{aligned} f(n+1) &= \sum_{l=1}^{n} l + 0 + \sum_{l=1}^{n} l \\ &= 2 \sum_{l=1}^{n} l \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \\ &= n(n+1) \end{aligned} $$

解法2

(2) の別解を示します。

任意の実数 $a, b$ に対して、三角不等式 $|A| + |B| \geqq |A + B|$ を用いると、

$$ |x - a| + |x - b| = |x - a| + |b - x| \geqq |(x - a) + (b - x)| = |b - a| $$

が成り立ちます。等号が成立するのは $(x - a)(b - x) \geqq 0$、すなわち $a \leqq b$ のとき $a \leqq x \leqq b$ の場合です。 これを利用して、$f(x)$ の各項をペアにして下限を評価します。

$k=1, 2, \dots, n$ に対して、$a = k, b = 2n+2-k$ とおくと、

$$ |x - k| + |x - (2n+2-k)| \geqq |(2n+2-k) - k| = 2n - 2k + 2 $$

等号成立は $k \leqq x \leqq 2n+2-k$ のときです。 これを $k=1$ から $n$ まで辺々足し合わせると、

$$ \sum_{k=1}^{n} \{ |x - k| + |x - (2n+2-k)| \} \geqq \sum_{k=1}^{n} (2n - 2k + 2) $$

となります。左辺は $f(x)$ の項のうち、$k = n+1$ 以外のすべての項の和を表しています。 これに、残りの項 $|x - (n+1)| \geqq 0$ （等号成立は $x = n+1$ のとき）を加えると、

$$ f(x) \geqq \sum_{k=1}^{n} (2n - 2k + 2) $$

となります。等号が成立するのは、すべての $k = 1, 2, \dots, n$ において $k \leqq x \leqq 2n+2-k$ が成り立ち、かつ $x = n+1$ となるときです。$x = n+1$ はすべての $k \leqq x \leqq 2n+2-k$ の条件を満たしているため、等号を満たす $x$ が確かに存在します。

したがって、$f(x)$ は $x = n+1$ のとき最小となります。 その最小値は、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} (2n - 2k + 2) &= 2 \sum_{k=1}^{n} (n + 1 - k) \\ &= 2 \sum_{l=1}^{n} l \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \\ &= n(n+1) \end{aligned} $$

となります。

解説

複数の絶対値の和で表される関数の最小値を求める典型問題です。 数直線上にある複数の点 $x_1, x_2, \dots, x_N$ からの距離の総和 $L = \sum_{k=1}^N |x - x_k|$ は、$x$ がこれら $N$ 個の点の「中央値（メジアン）」に一致するときに最小になります。 (1) では $1, 2, 3$ の中央値である $x=2$ で最小値 $2$ をとることがグラフの頂点からも確認できます。 (2) では $1, 2, \dots, 2n+1$ という $2n+1$ 個（奇数個）の点が並んでいるため、ちょうど真ん中に位置する $n+1$ 番目の点、すなわち $x = n+1$ が中央値となり、ここで最小値をとることが直観的にも予想できます。 解答では、この直観を数学的に厳密に示すために、区間ごとの傾きを調べる手法（解法1）や、三角不等式を用いて評価する手法（解法2）を用いています。

答え

(1) 点 $(1, 3), (2, 2), (3, 3)$ を頂点とし、$x \leqq 1$ で $y = -3x + 6$、$1 \leqq x \leqq 2$ で $y = -x + 4$、$2 \leqq x \leqq 3$ で $y = x$、$x \geqq 3$ で $y = 3x - 6$ となる折れ線グラフ。

(2) $x = n+1$ のとき、最小値 $n(n+1)$