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北海道大学 1989年理系第2問解説

方針・初手

(1) については、三角関数の式変形を用いて $f(\theta)$ を $\cos\theta$ だけで表す。和と積の公式を利用して分子を変形する方針、または加法定理を用いて角をばらしていく方針が考えられる。 (2) については、(1) で得られた式を用いて $\cos\theta$ を別の文字（例えば $x$）に置き換え、$x$ についての代数方程式に帰着させる。$\theta$ の変域から $x$ の変域を正しく設定し、方程式がその範囲に解をもつ条件を求める。

解法1

(1)

与えられた関数は次のように変形できる。

$$f(\theta) = \frac{-\sin\frac{\theta}{2} + \sin\frac{5}{2}\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}}$$

分子に対して、和と積の公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いる。

$$\sin\frac{5}{2}\theta - \sin\frac{\theta}{2} = 2\cos\left( \frac{\frac{5}{2}\theta + \frac{\theta}{2}}{2} \right) \sin\left( \frac{\frac{5}{2}\theta - \frac{\theta}{2}}{2} \right) = 2\cos\frac{3}{2}\theta\sin\theta$$

さらに、倍角の公式 $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ を用いると、次のように変形できる。

$$2\cos\frac{3}{2}\theta\sin\theta = 4\cos\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}$$

ここで、積と和の公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を適用する。

$$2\cos\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2} = \cos\left( \frac{3}{2}\theta + \frac{\theta}{2} \right) + \cos\left( \frac{3}{2}\theta - \frac{\theta}{2} \right) = \cos 2\theta + \cos\theta$$

したがって、分子は次のように表される。

$$\sin\frac{5}{2}\theta - \sin\frac{\theta}{2} = 2(\cos 2\theta + \cos\theta)\sin\frac{\theta}{2}$$

これを $f(\theta)$ の式に代入し、分母と約分する。

$$f(\theta) = \frac{2(\cos 2\theta + \cos\theta)\sin\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}} = \cos 2\theta + \cos\theta$$

最後に、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を用いて $\cos\theta$ の多項式で表す。

$$f(\theta) = (2\cos^2\theta - 1) + \cos\theta = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1$$

(2)

$x = \cos\theta$ とおく。$0 < \theta < \pi$ であるから、$-1 < x < 1$ である。曲線 $y = a\cos\theta + a$ が曲線 $y = f(\theta)$ と少なくとも1点で交わることは、方程式

$$2x^2 + x - 1 = a(x + 1)$$

が $-1 < x < 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことと同値である。方程式を整理する。

$$2x^2 + (1-a)x - (a+1) = 0$$

左辺を因数分解すると、次のようになる。

$$(x+1)(2x - a - 1) = 0$$

これを満たす $x$ は $x = -1$ または $x = \frac{a+1}{2}$ である。 $-1 < x < 1$ という条件より $x = -1$ は不適であるため、求める条件は、もう一方の解 $x = \frac{a+1}{2}$ が $-1 < x < 1$ を満たすことである。

$$-1 < \frac{a+1}{2} < 1$$

各辺に $2$ を掛ける。

$$-2 < a + 1 < 2$$

各辺から $1$ を引いて、実数 $a$ の範囲を求める。

$$-3 < a < 1$$

解法2

(1)

$f(\theta)$ の式の第2項にある $\sin\frac{5}{2}\theta$ を加法定理で展開して整理する方針をとる。

$$\sin\frac{5}{2}\theta = \sin\left(2\theta + \frac{\theta}{2}\right)$$

加法定理により展開する。

$$\sin\left(2\theta + \frac{\theta}{2}\right) = \sin 2\theta \cos\frac{\theta}{2} + \cos 2\theta \sin\frac{\theta}{2}$$

倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 、および半角・倍角の公式 $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ を用いて第1項を変形する。

$$\sin 2\theta \cos\frac{\theta}{2} = 2\sin\theta\cos\theta\cos\frac{\theta}{2}$$

$$= 2\left(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right)\cos\theta\cos\frac{\theta}{2}$$

$$= 4\sin\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2}\cos\theta$$

半角の公式より $2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta$ であるから、代入してさらに整理する。

$$= 2\sin\frac{\theta}{2}(1+\cos\theta)\cos\theta$$

また、第2項については $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より次のように変形する。

$$\cos 2\theta \sin\frac{\theta}{2} = (2\cos^2\theta - 1)\sin\frac{\theta}{2}$$

これらを足し合わせて $\sin\frac{\theta}{2}$ でくくる。

$$\sin\frac{5}{2}\theta = \sin\frac{\theta}{2} \left\{ 2\cos\theta(1+\cos\theta) + 2\cos^2\theta - 1 \right\}$$

$$= \sin\frac{\theta}{2} ( 4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 )$$

したがって、$f(\theta)$ は次のように求められる。

$$f(\theta) = -\frac{1}{2} + \frac{\sin\frac{\theta}{2} (4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1)}{2\sin\frac{\theta}{2}}$$

$$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (4\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1)$$

$$= 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1$$

(2)

(1) の結果より、曲線 $y = f(\theta)$ と曲線 $y = a\cos\theta + a$ が交点をもつための条件は、方程式

$$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = a(\cos\theta + 1)$$

が $0 < \theta < \pi$ で解をもつことである。 $x = \cos\theta$ とおくと、$0 < \theta < \pi$ より $x$ の変域は $-1 < x < 1$ となる。方程式を $x$ を用いて表す。

$$2x^2 + x - 1 = a(x+1)$$

左辺は $(2x-1)(x+1)$ と因数分解できるため、方程式は次のようになる。

$$(2x-1)(x+1) = a(x+1)$$

$-1 < x < 1$ の範囲において $x+1 \neq 0$ であるから、両辺を $x+1$ で割って整理する。

$$2x - 1 = a$$

$$x = \frac{a+1}{2}$$

この解が $-1 < x < 1$ の範囲に存在すればよい。

$$-1 < \frac{a+1}{2} < 1$$

辺々に $2$ を掛ける。

$$-2 < a + 1 < 2$$

各辺から $1$ を引く。

$$-3 < a < 1$$

解説

(1) は「ディリクレ核」に関連する有名な三角関数の和の変形であり、和積・積和の公式を用いると計算量が減る。加法定理や倍角・半角の公式を愚直に用いても正しく導出できるため、自分の計算しやすい手法を確実に実行できるかが鍵となる。 (2) は $\cos\theta$ を $x$ に置き換えた後の変域に注意する。二次方程式の解の配置問題として判別式や端点の符号を調べる手法も可能だが、与えられた方程式が常に $x = -1$ を解にもつことに気づけば、因数分解によって一次方程式の解の条件に帰着できるため大幅に手間を省くことができる。