北海道大学 1989年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) は、積分で定義された関数 $g(x)$ を含む等式の証明である。$g(x)$ の定義式の両辺に $(x - a)$ を掛けた上で、$x$ について微分するのが基本方針となる。

(2) は、$g(x)$ が増加関数であること、すなわち $x > a$ において $g'(x) > 0$（または $g'(x) \geqq 0$）を示す。(1) の結果を活用し、$g'(x)$ を $f(x)$ と積分を用いて表し、$f(x)$ が増加関数であるという条件から符号を判定する。

(3) は、与えられた関係式 $2f(x) = 3g(x)$ と (1) の結果を連立させ、$f(x)$ に関する微分方程式を導く。

解法1

(1)

与えられた $g(x)$ の定義式 $$g(x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f(t) dt$$ の両辺に $(x - a)$ を掛けると、次のようになる。 $$(x - a)g(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$$

この両辺を $x$ について微分する。左辺は積の微分法を用い、右辺は定積分の微分公式を用いる。 $$1 \cdot g(x) + (x - a)g'(x) = f(x)$$

移項して整理すると、 $$(x - a)g'(x) = f(x) - g(x)$$ となり、与式が成り立つことが示された。

(2)

(1) の結果より、 $$g'(x) = \frac{f(x) - g(x)}{x - a}$$

ここで、$x > a$ より分母は $x - a > 0$ である。分子の $f(x) - g(x)$ について、$g(x)$ の定義式を代入して変形する。 $$f(x) - g(x) = f(x) - \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f(t) dt$$

$$= \frac{1}{x - a} \left\{ (x - a)f(x) - \int_{a}^{x} f(t) dt \right\}$$

$$= \frac{1}{x - a} \left\{ \int_{a}^{x} f(x) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt \right\}$$

$$= \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} \{ f(x) - f(t) \} dt$$

$f(x)$ は増加関数であるから、積分区間 $a \leqq t \leqq x$ において $f(t) \leqq f(x)$ が成り立つ。したがって、$f(x) - f(t) \geqq 0$ であり、 $$\int_{a}^{x} \{ f(x) - f(t) \} dt \geqq 0$$

よって、$f(x) - g(x) \geqq 0$ となるため、$x > a$ において $g'(x) \geqq 0$ である。 したがって、$g(x)$ は $x > a$ で増加関数であることが示された。

(3)

与えられた条件より、すべての $x \ (x > a)$ に対して $$2f(x) = 3g(x)$$ すなわち $$g(x) = \frac{2}{3}f(x)$$

$f(x)$ は連続関数であるから積分で定義された $g(x)$ は微分可能であり、上の式より $f(x)$ も微分可能である。両辺を $x$ で微分すると、 $$g'(x) = \frac{2}{3}f'(x)$$

これらと (1) で得た $(x - a)g'(x) = f(x) - g(x)$ を組み合わせる。 $$(x - a) \cdot \frac{2}{3}f'(x) = f(x) - \frac{2}{3}f(x)$$

整理すると、 $$2(x - a)f'(x) = f(x)$$

$x > a$ のとき $f(x) > 0$ であり、また $x - a > 0$ であるから、両辺を $2(x - a)f(x)$ で割って変数分離形にする。 $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2(x - a)}$$

両辺を $x$ について積分する。 $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2(x - a)} dx$$

$$\log |f(x)| = \frac{1}{2} \log |x - a| + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

$f(x) > 0, \ x - a > 0$ であるから絶対値記号を外し、対数の性質を用いる。 $$\log f(x) = \log (x - a)^{\frac{1}{2}} + C$$

$$f(x) = e^{C} (x - a)^{\frac{1}{2}} = e^{C} \sqrt{x - a}$$

ここで $e^C = k$ ($k$ は正の定数) とおくと、 $$f(x) = k \sqrt{x - a}$$

逆にこのとき、$f(x)$ は $x \geqq a$ で定義された連続な増加関数であり、$x > a$ のとき $f(x) > 0$ を満たす。また、 $$g(x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} k \sqrt{t - a} dt = \frac{1}{x - a} \left[ \frac{2k}{3} (t - a)^{\frac{3}{2}} \right]_{a}^{x} = \frac{2k}{3} \sqrt{x - a}$$

となり、$2f(x) = 3g(x)$ も満たすため、条件に合致する。

解説

微積分学の基本定理 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ を用いる典型的な問題である。(1) で分母を払ってから微分する操作は、分数関数の微分を避けるための定石である。

(2) では「増加関数」の証明として導関数 $g'(x)$ の符号を調べる。分子 $f(x) - g(x)$ の符号判定において、$f(x)$ を定積分 $\frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f(x) dt$ と書き換えて積分記号の中に組み込む変形がポイントとなる。

(3) は、関係式から微分方程式を立てて解く問題である。与式を微分して $f(x)$ と $f'(x)$ の関係式（微分方程式）を導き、変数分離形として積分する。最後に、求めた関数が十分条件を満たすかどうかの確認を忘れずに行う必要がある。

答え

(1) （証明は解法1を参照）

(2) （証明は解法1を参照）

(3) $$f(x) = k \sqrt{x - a} \quad (k \text{ は正の定数})$$