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九州大学 1997年文系第2問解説

方針・初手

平均変化率、微分係数の定義に従ってそれぞれを計算する基礎的な問題である。 (1)では平均変化率の式 $\frac{f(q)-f(p)}{q-p}$ に関数を代入して整理する。 (2)では微分係数の定義式 $f'(r) = \lim_{h \to 0} \frac{f(r+h)-f(r)}{h}$ などを用いる。 (3)は(1)と(2)の結果を等号で結び、$r$ について解く。 (4)は2つの接線の方程式を求め、それらの交点の $x$ 座標を求める。その後、定積分を用いて放物線と2接線で囲まれる図形の面積を計算する。被積分関数が完全平方式になることを利用すると計算の見通しが良い。

解法1

(1)

$x$ の値が $p$ から $q$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率は、

$$\frac{f(q) - f(p)}{q - p}$$

で定義される。$f(x) = ax^2 + bx + c$ より、分子を計算すると、

$$\begin{aligned} f(q) - f(p) &= (aq^2 + bq + c) - (ap^2 + bp + c) \\ &= a(q^2 - p^2) + b(q - p) \\ &= a(q - p)(q + p) + b(q - p) \\ &= (q - p)\{a(p + q) + b\} \end{aligned}$$

となる。$p < q$ より $q - p \neq 0$ であるから、平均変化率は、

$$\frac{(q - p)\{a(p + q) + b\}}{q - p} = a(p + q) + b$$

(2)

微分係数 $f'(r)$ を定義にしたがって求める。

$$\begin{aligned} f'(r) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(r+h) - f(r)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a(r+h)^2 + b(r+h) + c - (ar^2 + br + c)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a(r^2 + 2rh + h^2) + br + bh + c - ar^2 - br - c}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2arh + ah^2 + bh}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (2ar + ah + b) \end{aligned}$$

$h \to 0$ のとき $ah \to 0$ となるので、

$$f'(r) = 2ar + b$$

(3)

(1)の平均変化率と、(2)の $f'(r)$ が一致するとき、

$$a(p + q) + b = 2ar + b$$

が成り立つ。これを整理すると、

$$a(p + q) = 2ar$$

$a \neq 0$ であるから、両辺を $2a$ で割って、

$$r = \frac{p + q}{2}$$

(4)

$f(x) = x^2$ より、微分すると $f'(x) = 2x$ である。点 $P(p, p^2)$ における接線の方程式を $y = l_1(x)$ とすると、傾きは $2p$ であるから、

$$l_1(x) - p^2 = 2p(x - p)$$

整理して、

$$l_1(x) = 2px - p^2$$

同様に、点 $Q(q, q^2)$ における接線の方程式を $y = l_2(x)$ とすると、

$$l_2(x) = 2qx - q^2$$

この2つの接線の交点の $x$ 座標を求める。$l_1(x) = l_2(x)$ とおくと、

$$2px - p^2 = 2qx - q^2$$

$$2(p - q)x = p^2 - q^2$$

$$2(p - q)x = (p - q)(p + q)$$

$p < q$ より $p - q \neq 0$ であるから、両辺を $2(p - q)$ で割って、

$$x = \frac{p + q}{2}$$

放物線 $y = x^2$ は下に凸であり、各接線は接点以外の部分で放物線の下側にある。したがって、区間 $p \leqq x \leqq \frac{p+q}{2}$ では放物線と $l_1(x)$ で囲まれ、区間 $\frac{p+q}{2} \leqq x \leqq q$ では放物線と $l_2(x)$ で囲まれる。求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{p}^{\frac{p+q}{2}} \{x^2 - l_1(x)\} \,dx + \int_{\frac{p+q}{2}}^{q} \{x^2 - l_2(x)\} \,dx$$

ここで、被積分関数はそれぞれ次のように変形できる。

$$x^2 - l_1(x) = x^2 - 2px + p^2 = (x - p)^2$$

$$x^2 - l_2(x) = x^2 - 2qx + q^2 = (x - q)^2$$

したがって、$S$ の式は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{p}^{\frac{p+q}{2}} (x - p)^2 \,dx + \int_{\frac{p+q}{2}}^{q} (x - q)^2 \,dx \\ &= \left[ \frac{(x - p)^3}{3} \right]_{p}^{\frac{p+q}{2}} + \left[ \frac{(x - q)^3}{3} \right]_{\frac{p+q}{2}}^{q} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{p + q}{2} - p \right)^3 - 0 + 0 - \frac{1}{3} \left( \frac{p + q}{2} - q \right)^3 \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{q - p}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \left( \frac{p - q}{2} \right)^3 \end{aligned}$$

$\left( \frac{p - q}{2} \right)^3 = -\left( \frac{q - p}{2} \right)^3$ であるから、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{3} \left( \frac{q - p}{2} \right)^3 + \frac{1}{3} \left( \frac{q - p}{2} \right)^3 \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{(q - p)^3}{8} \\ &= \frac{(q - p)^3}{12} \end{aligned}$$

解説

2次関数において、任意の区間 $[p, q]$ の平均変化率と、微係数が等しくなる $x$ 座標は、常に区間の両端の中点 $\frac{p+q}{2}$ となる。この事実は(1)〜(3)を通じて示されている。

また、(4)で求めた放物線上の2点における接線の交点の $x$ 座標も $\frac{p+q}{2}$ となり、これも2次関数の持つ重要な性質である。面積計算においては、被積分関数が $(x-\alpha)^2$ の形になることを利用し、$\int (x-\alpha)^2 \,dx = \frac{(x-\alpha)^3}{3} + C$ という公式を用いると計算量が大幅に削減でき、ミスも防ぐことができる。放物線と2接線で囲まれた面積の公式（通称 $\frac{1}{12}$ 公式）の導出過程そのものである。