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東京工業大学 1975年理系第3問解説

方針・初手

対数不等式を解く際の基本手順に従い、まずは真数条件を確認して $x$ のとり得る範囲を求める。その後、対数の底 $a$ の値によって不等号の向きの扱いが変わるため、$a>1$ の場合と $0<a<1$ の場合で場合分けを行って真数の大小を比較する。得られた不等式は分数不等式となるため、真数条件で得られた $x$ の範囲における分母の符号に注意しながら処理を進める。

解法1

対数の底に $a$ が用いられていることから、$a>0$ かつ $a \neq 1$ である。

まず、真数条件より

$$ \frac{x-2}{x-1} > 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{3-x}{x} > 0 $$

第1の不等式 $\frac{x-2}{x-1} > 0$ は $(x-2)(x-1) > 0$ と同値であり、これを解いて

$$ x < 1, \quad 2 < x $$

第2の不等式 $\frac{3-x}{x} > 0$ は $x(x-3) < 0$ と同値であり、これを解いて

$$ 0 < x < 3 $$

これらを同時に満たす $x$ の範囲が真数条件であり、数直線上での共通範囲を求めると

$$ 0 < x < 1 \quad \text{または} \quad 2 < x < 3 \quad \cdots \text{①} $$

次に、与えられた不等式 $\log_a \frac{x-2}{x-1} > \log_a \frac{3-x}{x}$ を底 $a$ の値によって場合分けして解く。

(i) $a > 1$ のとき

底が $1$ より大きいので、真数の大小関係は不等号の向きと一致する。

$$ \frac{x-2}{x-1} > \frac{3-x}{x} $$

移項して通分すると

$$ \begin{aligned} \frac{x-2}{x-1} - \frac{3-x}{x} &> 0 \\ \frac{x(x-2) - (3-x)(x-1)}{x(x-1)} &> 0 \\ \frac{x^2 - 2x - (-x^2 + 4x - 3)}{x(x-1)} &> 0 \\ \frac{2x^2 - 6x + 3}{x(x-1)} &> 0 \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

ここで、真数条件①の範囲において分母 $x(x-1)$ の符号を考える。

(ア) $0 < x < 1$ のときこの範囲では $x > 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、分母 $x(x-1) < 0$ である。したがって、不等式②が成り立つためには分子が負であればよく、

$$ 2x^2 - 6x + 3 < 0 $$

$2x^2 - 6x + 3 = 0$ の解は $x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ であり、不等式の解は

$$ \frac{3 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{2} $$

これと $0 < x < 1$ の共通範囲を考える。$\sqrt{3} \approx 1.73$ より $\frac{3-\sqrt{3}}{2} \approx 0.635$、$ \frac{3+\sqrt{3}}{2} \approx 2.365$ であるから、共通範囲は

$$ \frac{3 - \sqrt{3}}{2} < x < 1 $$

(イ) $2 < x < 3$ のときこの範囲では $x > 0$ かつ $x-1 > 0$ なので、分母 $x(x-1) > 0$ である。したがって、不等式②が成り立つためには分子が正であればよく、

$$ 2x^2 - 6x + 3 > 0 $$

この解は $x < \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad \frac{3 + \sqrt{3}}{2} < x$ である。これと $2 < x < 3$ の共通範囲は

$$ \frac{3 + \sqrt{3}}{2} < x < 3 $$

(ア)、(イ) より、$a > 1$ のときの不等式の解は

$$ \frac{3 - \sqrt{3}}{2} < x < 1, \quad \frac{3 + \sqrt{3}}{2} < x < 3 $$

(ii) $0 < a < 1$ のとき

底が $1$ より小さいので、真数の大小関係は不等号の向きが逆転する。

$$ \frac{x-2}{x-1} < \frac{3-x}{x} $$

(i) と同様に移項して整理すると

$$ \frac{2x^2 - 6x + 3}{x(x-1)} < 0 \quad \cdots \text{③} $$

(ウ) $0 < x < 1$ のとき分母 $x(x-1) < 0$ であるから、不等式③が成り立つためには分子が正であればよい。

$$ 2x^2 - 6x + 3 > 0 $$

この解は $x < \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad \frac{3 + \sqrt{3}}{2} < x$。これと $0 < x < 1$ の共通範囲は

$$ 0 < x < \frac{3 - \sqrt{3}}{2} $$

(エ) $2 < x < 3$ のとき分母 $x(x-1) > 0$ であるから、不等式③が成り立つためには分子が負であればよい。

$$ 2x^2 - 6x + 3 < 0 $$

この解は $\frac{3 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$。これと $2 < x < 3$ の共通範囲は

$$ 2 < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{2} $$

(ウ)、(エ) より、$0 < a < 1$ のときの不等式の解は

$$ 0 < x < \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad 2 < x < \frac{3 + \sqrt{3}}{2} $$

解説

対数不等式における2つの鉄則「真数条件の確認」と「底による場合分け」を問う標準的な問題である。真数に分数式が含まれるため、真数条件の処理と不等式自体の処理の両方で分数不等式を解く必要がある。

分数不等式 $\frac{A}{B} > 0$ を解く際は、$AB > 0$ と同値変形するか、分母 $B$ の符号によって場合分けをするのが一般的である。本問の後半では、真数条件により $x$ の範囲が $0<x<1$ と $2<x<3$ に分断されていることに着目し、それぞれの区間において分母の符号が一定であることを利用して場合分けを行うと、論理の見通しが良くなる。不用意に分母を払う（両辺に $(x-1)$ や $x$ をかける）と符号の反転を見落とす原因となるため、移項して通分するアプローチが安全である。