東京工業大学 1990年 理系 第2問 解説

方針・初手

証明すべき不等式の左辺と右辺の形から、関数 $f(x) = x \log x$ の性質を利用して不等式を評価することを考える。

関数 $f(x) = x \log x$ を2回微分し、グラフが下に凸であることを確認する。下に凸な曲線の性質として「任意の点における接線は、常に曲線の下側（または接点）にある」ことを利用し、適切な $x$ の値で接線を引いて不等式を構築する。

解法1

関数 $f(x) = x \log x$ $(x > 0)$ について考える。

$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$ f'(x) = \log x + 1 $$

$$ f''(x) = \frac{1}{x} $$

$x > 0$ において $f''(x) > 0$ であるから、曲線 $y = f(x)$ は下に凸である。

ここで、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $\left( \frac{k}{n}, \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} \right)$ における接線の方程式を求める。

$$ y - \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} = \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \left( x - \frac{k}{n} \right) $$

これを整理すると、接線の方程式は以下のようになる。

$$ y = \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \left( x - \frac{k}{n} \right) + \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} $$

曲線 $y = f(x)$ が下に凸であることから、任意の $x > 0$ に対して、曲線は常に接線の上側（または接線上）に存在する。したがって、次の不等式が成り立つ。

$$ x \log x \geqq \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \left( x - \frac{k}{n} \right) + \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} $$

ここで、$x_1, x_2, \dots, x_n$ はすべて正数であるため、各 $x_i$ に対して上記の不等式を適用することができる。

$$ x_i \log x_i \geqq \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \left( x_i - \frac{k}{n} \right) + \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} \quad (i = 1, 2, \dots, n) $$

この $n$ 個の不等式の辺々を加える。

$$ \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq \sum_{i=1}^n \left\{ \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \left( x_i - \frac{k}{n} \right) + \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} \right\} $$

右辺の $\sum$ を展開して計算する。

$$ (\text{右辺}) = \left( \log \frac{k}{n} + 1 \right) \sum_{i=1}^n \left( x_i - \frac{k}{n} \right) + \sum_{i=1}^n \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} $$

ここで、問題の条件 $\sum_{i=1}^n x_i = k$ を用いると、右辺の第1項の $\sum$ の部分は次のように計算できる。

$$ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \frac{k}{n} \right) = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \frac{k}{n} = k - n \cdot \frac{k}{n} = 0 $$

また、右辺の第2項は定数の和であるから、次のように計算できる。

$$ \sum_{i=1}^n \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} = n \cdot \left( \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} \right) = k \log \frac{k}{n} $$

したがって、右辺の計算結果は以下のようになる。

$$ (\text{右辺}) = 0 + k \log \frac{k}{n} = k \log \frac{k}{n} $$

ゆえに、題意の不等式が成り立つことが示された。

$$ \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq k \log \frac{k}{n} $$

解法2

関数 $f(x) = x \log x$ の $x > 0$ における凸性を利用する。

$f''(x) = \frac{1}{x} > 0$ $(x > 0)$ より、$f(x)$ は $x > 0$ で下に凸な関数である。

下に凸な関数 $f(x)$ と任意の正数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ に対して、イェンセンの不等式が成り立つ。

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i) \geqq f\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) $$

この不等式に $f(x) = x \log x$ を適用する。

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) \log \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) $$

問題の条件より $\sum_{i=1}^n x_i = k$ であるから、これを右辺に代入する。

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq \frac{k}{n} \log \frac{k}{n} $$

両辺に正の定数 $n$ を掛けることで、目的の不等式が得られる。

$$ \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq k \log \frac{k}{n} $$

解説

関数 $f(x) = x \log x$ が下に凸であることを利用して不等式を証明する典型的な問題である。

凸関数の性質を不等式評価に用いる場合、主に2つのアプローチがある。 1つは解法1のように、接線の方程式を求めて「曲線が常に接線の上側にある」という事実（$f(x) \geqq f'(a)(x-a) + f(a)$）を利用する方法である。この際、接点の $x$ 座標をすべての変数の相加平均にあたる $\frac{k}{n}$ に設定することが最大のポイントとなる。 もう1つは解法2のように、凸不等式（イェンセンの不等式）を直接適用する方法である。

大学入試において、イェンセンの不等式は高校数学の学習指導要領外の定理と見なされることが多いため、無証明で用いると論理の飛躍として減点対象になるリスクがある。したがって、実戦的には解法1の接線を用いた評価方法を選択するのが最も安全かつ確実である。

答え

$$ \sum_{i=1}^n x_i \log x_i \geqq k \log \frac{k}{n} $$