トップ› 東京大学› 1988年› 理系第3問

東京大学 1988年理系第3問解説

方針・初手

$C$ を平行移動した図形 $C'$ の方程式を設定し、$C$ と $C'$ の共有点がただ1つになるような平行移動の条件を求める。その後、「$C'$ が点 $P$ を通る」という条件を数式化し、条件を満たす平行移動がちょうど3個存在するための領域を、方程式の解の個数問題として処理する。

解法1

$C$ を $x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ 平行移動した図形を $C'$ とする。$C'$ の方程式と定義域は以下のようになる。

$$ y = (x - a)^3 - (x - a) + b \quad (-1 + a \leqq x \leqq 1 + a) $$

$C$ と $C'$ の共有点の $x$ 座標は、$-1 \leqq x \leqq 1$ かつ $-1 + a \leqq x \leqq 1 + a$ の範囲における次の方程式の解である。

$$ x^3 - x = (x - a)^3 - (x - a) + b $$

これを整理すると、次の2次方程式を得る。

$$ 3ax^2 - 3a^2x + a^3 - a - b = 0 \quad \cdots (*) $$

$a = 0$ のとき、方程式は $b = 0$ となり、$b = 0$ ならば共有点は無数に存在し、$b \neq 0$ ならば共有点は存在しない。したがって、共有点がただ1点であるためには $a \neq 0$ が必要である。

$a \neq 0$ のとき、区間 $I = [-1, 1] \cap [-1 + a, 1 + a]$ において $(*)$ がただ1つの解をもつ条件を考える。左辺を $h(x)$ とおくと、$h(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ を軸とする2次関数であり、区間 $I$ は $x = \frac{a}{2}$ に関して対称である。実際、区間 $I$ の端点における $h(x)$ の値を計算すると、

$$ h(1) = h(-1 + a) = a^3 - 3a^2 + 2a - b $$

となり、両端で等しい値をとる。したがって、$h(x) = 0$ が区間 $I$ でただ1つの解をもつのは、放物線の頂点が $x$ 軸に接し、かつその接点が区間 $I$ に含まれるときに限られる。（区間の端点で交わる場合は、もう一方の端点でも交わるため解が2つになるか、区間外になる）

$(*)$ が重解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると $D = 0$ より、

$$ 9a^4 - 12a(a^3 - a - b) = 0 $$

$$ b = \frac{1}{4}a^3 - a $$

このとき、重解は $x = \frac{a}{2}$ であり、これが区間 $I$ に含まれるための条件は、 $a > 0$ のとき $-1 + a \leqq \frac{a}{2} \leqq 1$ より $0 < a \leqq 2$。 $a < 0$ のとき $-1 \leqq \frac{a}{2} \leqq 1 + a$ より $-2 \leqq a < 0$。よって、平行移動のベクトル $(a, b)$ が満たすべき条件は以下の通りである。

$$ b = \frac{1}{4}a^3 - a \quad (-2 \leqq a \leqq 2, \ a \neq 0) \quad \cdots (1) $$

次に、$C'$ が点 $P(X, Y)$ を通る条件を考える。これは、点 $P$ を $x$ 軸方向に $-a$、$y$ 軸方向に $-b$ だけ平行移動した点 $(X - a, Y - b)$ がもとの図形 $C$ 上にあることと同値である。したがって、ある実数 $q \ (-1 \leqq q \leqq 1)$ が存在して、

$$ X - a = q, \quad Y - b = q^3 - q $$

と表せる。これより $a = X - q, \ b = Y - q^3 + q$ となり、これを（1）に代入して整理する。

$$ Y - q^3 + q = \frac{1}{4}(X - q)^3 - (X - q) $$

$$ Y = \frac{3}{4}q^3 + \frac{3}{4}Xq^2 - \frac{3}{4}X^2q + \frac{1}{4}X^3 - X $$

右辺を $f(q)$ とおく。条件を満たす図形 $C'$ がちょうど3個存在することは、$q$ の方程式 $f(q) = Y$ が $-1 \leqq q \leqq 1$ において異なる3つの実数解をもつことと同値である。（なお、3つの解をもつとき、極値が存在するためには後述の通り $-1 < X < 1$ かつ $X \neq 0$ が必要であり、このとき $q \in [-1, 1]$ ならば $a = X - q \in [-2, 2]$ は自動的に満たされる。また、$a = 0$ すなわち $q = X$ が解となるのは $Y = X^3 - X$ のときであるが、このとき解は2個以下となるため条件から外れる）

$f(q)$ を $q$ について微分すると、

$$ f'(q) = \frac{9}{4}q^2 + \frac{3}{2}Xq - \frac{3}{4}X^2 = \frac{3}{4}(3q - X)(q + X) $$

$f'(q) = 0$ となるのは $q = \frac{X}{3}, -X$ のときである。$f(q) = Y$ が3つの異なる解をもつには、極値をもつ必要があり $X \neq 0$ である。また、極値をとる $q$ が区間 $(-1, 1)$ に含まれる必要があり、$-1 < X < 1$ が必要である。

$f(q)$ の極値と、区間の端点 $q = \pm 1$ における値を求める。

$$ f(-X) = X^3 - X $$

$$ f \left( \frac{X}{3} \right) = \frac{1}{9}X^3 - X $$

$$ f(1) = \frac{1}{4}(X^2 - 1)(X - 3) $$

$$ f(-1) = \frac{1}{4}(X^2 - 1)(X + 3) $$

方程式 $f(q) = Y$ が $-1 \leqq q \leqq 1$ に3つの解をもつための $Y$ の条件は、極小値 $m$、極大値 $M$ としたとき、$\max(m, f(-1)) < Y < \min(M, f(1))$ となることである。

(i)

$0 < X < 1$ のとき

極大値は $M = f(-X)$、極小値は $m = f \left( \frac{X}{3} \right)$ である。 $f(1) - M = \frac{3}{4}(1 - X^2)(X + 1) > 0$ より、上限は $Y < X^3 - X$ である。下限について、$f(-1) - m = \frac{5}{36}X^3 + \frac{3}{4}X^2 + \frac{3}{4}X - \frac{3}{4} = \frac{5}{36}(X + 3)^2 \left( X - \frac{3}{5} \right)$ となる。よって、$0 < X \leqq \frac{3}{5}$ のときは $m \geqq f(-1)$ より下限は $Y > \frac{1}{9}X^3 - X$ となり、$\frac{3}{5} < X < 1$ のときは $f(-1) > m$ より下限は $Y > \frac{1}{4}(X^2 - 1)(X + 3)$ となる。

(ii)

$-1 < X < 0$ のとき

極大値は $M = f \left( \frac{X}{3} \right)$、極小値は $m = f(-X)$ である。対称性と同様の計算により、上限について、$M - f(1) = -\frac{5}{36}(X - 3)^2 \left( X + \frac{3}{5} \right)$ となり、$-1 < X < -\frac{3}{5}$ のときは上限が $Y < \frac{1}{4}(X^2 - 1)(X - 3)$、$-\frac{3}{5} \leqq X < 0$ のときは上限が $Y < \frac{1}{9}X^3 - X$ となる。下限は常に $Y > X^3 - X$ である。

解説

軌跡・領域の「逆像法（存在条件）」を用いる難問である。まずは平行移動の条件を正確に立式し、「共有点がただ1つ」という条件からベクトル $(a, b)$ の満たすべき関係式を導き出すことが第一の関門である。その後、点 $P$ を通る条件を $q$ の方程式に帰着させるが、定義域がついた3次方程式の解の配置問題となるため、極値だけでなく区間の端点における値も丁寧に評価し、曲線の上下関係を正確に把握する必要がある。